Folge xn=(100n+1)^2 / 25(n^2+n+1) auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz untersuchen

Question

Untersuchen Sie die folgende komplexe Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz.

x_n=(100n+1)² / 25(n²+n+1)

Answer 1

Hi, wie ist das gemeint? \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25(n^2+n+1) } \) oder \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25}(n^2+n+1) \)

Answer 2

Ich nehme mal an, du meinst

x_n=(100n+1)² / (25(n²+n+1))

n sind natürliche Zahlen. Zähler und Nenner sind positiv. Daher gilt x_n > 0 , d.h. (xn) ist nach unten beschränkt und für alle natürlichen n definiert.

Nun noch eine Abschätzung nach oben:

x_n=(100n+1)² / (25(n²+n+1))

< (101n)^2 / (25(n^2))           |Zähler vergrössert sobald n>0, Nenner verkleinert

= (101^2 n^2)/(25n^2) = 101^2/25  Folgerung: 101^2/25 ist eine obere Schranke. Folgerung: die Folge ist beschränkt. Nun zur Monotonie:  x_n=(100n+1)² / (25(n²+n+1)) 

x_n+1=(100(n+1)+1)² / (25((n+1)²+(n+1)+1)) 

x_n+1 - x_n = (100(n+1)+1)² / (25((n+1)²+(n+1)+1)) - (100n+1)² / (25(n²+n+1)) = 

= 

gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100%28n%2B1%29%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28%28n%2B1%29%5E2%2B%28n%2B1%29%2B1%29%29+-+%28100n%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28n%5E2%2Bn%2B1%29%29

Kannst du bestimmt selbst umformen. Wichtig: Das Resultat ist offensichtlich grösser als 0.

Daher

x_n+1 - x_n  > 0

x_n+1 > x_n 

Das heisst nun, dass die Folge streng monoton steigend ist. 

Gemäss der Tabelle im Link ist die Folge der Differenzen zumindest zu Beginn streng monoton fallend. Daher kann man vermuten, dass die Folge konvergiert.

Konvergenz:

Da die Folge beschränkt und streng monoton ist, konvergiert sie.