Untersuchen Sie die komplexe Folge x_n=i^n+(-1)^n auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz

Question

Untersuchen Sie die komplexe Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz:

$$ x _ { n } = i ^ { n } + ( - 1 ) ^ { n } $$

Bin völlig durcheinander, würde mich sehr freuen wenn ihr mir hilft.

Answer 1

i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i

Hier haben wir nach 4 Folgegliedern eine Wiederholung.

(-1)^1 = -1
(-1)^2 = 1
(-1)^3 = -1

Hier haben wir nach 2 Folgegliedern eine Wiederholung

xn = i^n + (-1)^n

x1 = -1 + i
x2 = 0
x3 = -1 - i
x4 = 2
x5 = - 1 + i

Auch hier müssen wir nach 4 Folgegliedern eine Wiederholung bekommen.

Wie ist das nun mit

Beschränktheit
Da sich die Folgeglieder wiederholen ist die Folge beschränkt.

Monotonie
Da sich die Folgeglieder wiederholen ist keine Monotonie vorhanden

Konvergenz
Wir haben hie keine Konvergenz sondern nur Häufungspunkte.