Folge an: = 2 - [(1)/(n+2)] auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen

Question

a_n = 2 - [(1)/(n+2)]

Ich soll jetzt untersuchen ob sie moton steigend, streng monotn steigend, monoton fallend, streng monoton fallend ist und ob sie nach oben oder nach unten beschränlt ist, aber wie macht man das ?

Comments

Zur Monotonie:

Berechne mal a_n+1 - a_n und schau, ob du da ein eindeutiges Vorzeichen rausbekommst.

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Wie meinst du das?

Ich sollte das irgendwie mit einer der folgenden Möglichkeiten lösen:

Eine Folge ist:

-monoton steigend wenn a_n ≤ a_n + 1
-moton fallend wenn a_n ≥ a_n +1
-streng monton steigend wenn a_n < a_n + 1
-streng monoton fallend wenn a_n > a_n + 1

Ich verstehe nicht genau was da zu tun ist.

Answer 1

n sind natürliche Zahlen.

1. Die Folge ist beschränkt.

nach oben durch die Zahl 2 und nach unten durch die Zahl 1.5, wenn n mit 0 beginnt.

a_n = 2 - [(1)/(n+2)] 

2. Monotonie

a_n = 2 - [(1)/(n+2)]

a_n+1 = 2 - [(1)/((n+1)+2)] = 2 - [(1)/(n+3)]

a_n+1 - a_n  =  2 - [(1)/(n+3)] -( 2 - [(1)/(n+2)]) 

=2 - [(1)/(n+3)] - 2 + [(1)/(n+2)]

= 1/(n+2) - 1/(n+3)           |Nenner grösser, bedeutet Zahl kleiner

> 0           |+a_n

==> a_n+1 > a_n

Die Folge ist somit monoton steigend.

EDIT: Die Folge ist sogar streng monoton steigend.