Wie berechne ich den Schnittpunkt x von folgender e-Funktion?

Question

Sx: f(x)=0 -> e^{2x} - 3e^x + 2 = 0


wegen der +2 am Ende, komme ich nicht weiter. ich hoffe mir kann jemand die Rechnung zeigen.

 !!

Answer 1

e ^{2 x} - 3 e ^x + 2 = 0

<=> e^2x - 3e^x = - 2

Lösen der quadratischen Gleichung durch Addition der quadratischen Ergänzung (hier: 1,5 ² ) :

<=> e^2x - 3e^x + 1,5 ² = 1,5 ²- 2 = 0,25

<=> ( e^x - 1,5 ) ² = 0,25

<=> e^x - 1,5 = ± √ 0,25

<=> e^x = 1,5 ± 0,5

<=> e^x = 1 oder e^x = 2

<=> x = ln ( 1 ) = 0 oder x = ln ( 2 )

 

Wenn man nicht sofort sieht, dass man diese Gleichung wie eine quadratische Gleichung lösen kann, dann kann man auch substituieren:

e ^{2 x} - 3 e ^x + 2 = 0

<=> e^2x - 3e^x = - 2

Substitution: u := e ^x

<=> u ² - 3 u = - 2

...

Man erhält schließlich:

u = 1 oder u = 2

Rücksubstitution liefert:

<=> e^x = 1 oder e^x = 2

<=> x = ln ( 1 ) = 0 oder x = ln ( 2 )