Gleichung z^8 − 2z^4 + 2 = 0 in den komplexen Zahlen lösen

Question

Aufgabe:z^8 − 2z^4 + 2 = 0

…

Problem/Ansatz:ich bin schon soweit, dass ich die p-q-Formel angewandt habe und auf x1 = 1 + i und x2 = 1 - i gekommen bin.

Nun ist mein Problem, dass ich bei der Resubstitution auf z1 = (1+i)^4 und (1-i)^4 komme und nicht weiss, wie ich weiter verfahren soll

…

Answer 1

Wenn die mittels

        x = z⁴

substituierst, dann musst du für die Rücksubstitution auch in genau diese Gleichung einsetzen. Weil du

        x = 1+i

als eine Lösung bekomemn hast, bekommt du durch die Rücksubstitution die Gleichung

        1 + i = z⁴.

Diese Gleichung musst du nun nach z lösen.

Dazu: komplexe Zahlen werden multipliziert indem die Argumente multipliziert und die Beträge addiert werden.

Argument von 1+i ist π/4. Argument von z ist also π/4 : 4 = π/16.

Betrag von 1 + i ist √2 = 2^½. Betrag von z ist also (2^½)^¼ = ⁸√2.

Eine Lösung der Gleichung lautet also ⁸√2·(cos(π/16) + i·sin(π/16)).

Comments

könnten sie bitte genauer erklären, warum die Argumente von 1+i und z, pi/2 und pi/8 sind ?

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Es sind nicht π/2 und π/8. sondern π/4 und π/16.

Die π/4 sind ersichtlich wenn man die Zahl in der Gausschen Zahlenebene zeichnet.

Die π/16 kommen daher, dass das Argument von

        Argument(z·z·z·z) = π/4

ist und

        π/16+π/16+π/16+π/16 = π/4

ist.

Answer 2

z^8 - 2·z^4 + 2 = 0

u = z^4

u^2 - 2·u + 2 = 0 --> u = 1 - i ∨ u = 1 + i

Daraus jetzt noch die 4. Wurzel ziehen.

z^4 = 1 - i = √2·e^(315°·i)

z1 = 2^(1/8)·e^(78.75°·i)

...

Bekommst du die weiteren Lösungen alleine hin?

Answer 3

Aufgabe:z⁸ − 2z⁴ + 2 = 0. Die Resubstitution heißt z⁴=x und führt zu z₁⁴ =1+i und z₂⁴=1-i. Setze setze z =a+b·i, potenziere  und vergleiche.

Answer 4

Hallo um die vierte Wurzel zu ziehen musst du x=r*e^it+k*2π*i schreiben oder die entsprechende Formel mit cos und sin. Dann einfach die Wurzel mit Potenzgesetz oder Winkel vierteln.

Gruß lul

Comments

könnten sie das vielleicht genauer erklären und mir ebenfalls sagen, wieso ich so verfahren muss ?

Answer 5

Versuche es mal von hinten:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E8+−+2z%5E4+%2B+2+%3D+0

Die Lösungen liegen auf zwei gegeneinander verdrehten Quadraten:

D.h. Polarkoordinaten sind nützlich.

Zur Umformung:

Die "quadratische Ergänzung" führt zur zweiten Zeile bei den "alternate forms".

Faktorisieren  (3. binomische Formel)

(z^4 - 1)^2 - i^2 = 0

((z^4 - 1) + i)((z^4 -1) -i) = 0

(z^4 - (1-i))(z^4 -(1+i)) = 0

D.h. z^4 = 1-i          (I)

oder z^4 = 1+i         (II)

Bei beiden Gleichungen kannst du mit Hilfe von Polarkoordinaten jeweils 4 Lösungen (ein Quadrat im ersten Bild) berechnen.