Berechnen einer Steigung.

Question

Frage a) Berechnen Sie jeweils die Steigung von f (f(x)= -x²+6x) und g (g(x)= 0,5x³-4) an der Stelle x= -2?

Frage b) In welchen Punkten haben die Graphen von f und g die Steigung 6?

An diesen 2 Fragen zerbreche ich mir nun schon seit 1 Stunde den Kopf.

Kann mir jemand weiterhelfen?

mit einer möglichst leichten Erklärung?

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. 

Um die Steigung von f und g an der Stelle x = -2 zu berechnen, müssen wir erstmal die erste Ableitung jeweils berechnen: 

$$f'(x)=-2x+6 \\ g'(x)=0.5\cdot 3x^2=1.5x^2$$ 

Die Steigung von f an der Stelle x = -2 ist also $$f'(-2)=-2\cdot (-2)+6=4+6=10$$ und die Steigung von g an der Stelle x = -2 ist $$g'(-2)=1.5\cdot (-2)^2=1.5\cdot 4=6$$ 

Um den Punkt zu bestimmen in den der Graph von f die Steigung 6 hat, müssen wir das x₀ finden sodass f'(x₀) = 6. Dann müssen wir noch den y-Wert berechnen, also das f(x₀). Der Punkt ist dann also P(x₀, f(x₀)). 

Das gleiche machen wir dann auch mit g. (In diesem Fall kennen wir bereits ein x, wir müssen allerdings noch prüfen ob es weitere gibt.)

Answer 2

Hallo Marylin,

die Steigung einer Funktion an einer Stelle x ist der Wert der Ableitung dieser Funktion an der Stelle x

a)

f(x)= -x²+6x         →  f '(x) = -2x + 6   →  f '(-2) =  10    = Steigung von f an der Stelle -2

g(x)= 0,5 x³ - 4     →  g '(x) = 1,5 x²     → g '(-2) =  6   = Steigung von g an der Stelle 2

b) 

 und jetzt ist zur gegebenen Steigung 6 erst einmal der (oder die) 

passende(n)  x-Werte  und dann die zugehörigen y-Werte gesucht:

 f '(x)  = - 2x + 6 = 6  →  x = 0 ,     f(0) = 0  →  P(0|0)

 g '(x)  = 1,5 x²  = 6  →  x² = 4  →  x = ± 2  ,   g(2) = 0  →  P₁(2|0   ,  

                                                                       g(-2) = 0 →  P₂(-2|-8)

Gruß Wolfgang

Comments

Hey.

Erst mal vielen Dank für eure Mühe.

Die a. habe ich nun verstanden.

Bei der b. hängt es aber leider noch etwas.

Also ich habe es so verstanden dass ich die beiden Ableitungen gleich 6 setzten muss.

Alles was danach passiert ist für mich leider noch nicht so ganz klar.

warum kommt bei f 0 raus?

und bei g verstehe ich den Zusammenhang leider überhaupt nicht.

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> Also ich habe es so verstanden dass ich die beiden Ableitungen gleich 6 setzten muss.

> Alles was danach passiert ist für mich leider noch nicht so ganz klar.

> warum kommt bei f 0 raus?

 f '(x) = -2x + 6 = 6    | -6 

            -2x = 0   | : (-2)

               x = 0            

       f(0) = - 0² + 6 * 0 = 0   

> und bei g verstehe ich den Zusammenhang leider überhaupt nicht.

g '(x) =  1,5 * x² = 6   | : 1,5

                       x² = 4   |  √

                       x  = ± 2 

Es gibt also 2 x-Werte, bei denen g' die Steigung 6 hat und deshalb auch zwei y-Werte f(2) und f(-2), also 2 Punkte mit dieser Steigung.