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Beweise, dass der Endomorphismenring EndK(V) eines K-Vektorraums mit der Hintereinanderausführung von Endomorphismen eine K-Algebra ist.


(K ist der Bereich der reellen oder komplexen Zahlen)

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Du musst nur zeigen, dass die Verknüpfung bilinear ist; denn dass der Endomorphismenring ein

IR bzw. C - Vektorraum ist, wurde sicher schon geklärt


und die Abgeschlossenheit von End(V) unter o ist wohl auch klar.

Also musst du zeigen:  Für alle f, g, h aus End(V) und alle a aus K  gilt:

(i)  (f+g)oh  = foh + goh  und
( ii)  f o ( g+h) = fog + foh  und
( iii)  a*(fog) = (a*f)og = f o (a*g)

Dazu musst du auf die entsprechenden Definitionen zurückgehen

Und Gleichheit von Abbildungen zeigt man ja, indem man prüft,

dass für jedes Argument die Bilder gleich sind.  (Def.- und

Zielbereich sind hier ja eh gleich )

Sei also  v ∈ V.  Dann gilt

(i)  ((f+g)oh )(v) =    nach Def. von o
  (f+g)( h(v))  =  nach Def. von + in End(V)
f(h(v)) + g(h(v)) =   nach Def. von o
(foh)(v) + (goh)(v) =  nach Def von + in End(V)((fog)+(goh))(v)          Damit ist (i) gezeigt.

(ii)   (fo(g+h))(v) =    nach Def. von o
f( (g+h)(v) )   =      nach Def. von + in End(V)
f( g(v) + h(v) ) =     wegen Linearität von f
f(g(v)) +  f(h(v))  =    nach Def. von o
(fog)(v)   +  (foh)(v) =   nach Def von + in End(V)
((fog)+(foh))(v)      Damit ist (ii) gezeigt.etc.
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