Verständnisfrage Längentreue und orthogonale Matrix (Lineare Algebra)

Question

Ich habe mal eine Verständnisfrage: Wenn eine Matrix orthogonal ist, so ist sie auch längentreu. Kann man denn auch folgern, das eine nicht orthogonale Matrix auch nicht längentreu ist? Hoffe ihr könnt mir helfen :) LG Anna

Comments

1. Wie können Matrizen längentreu sein?

Allenfalls sind Abbildungen "mit" diesen Matrizen längentreu.

2. Sollte bei "längentreu" nicht noch gesagt werden, wie die Längen gemessen werden? Welche Norm, dass benutzt wird?

3. Intuitiv würde ich auch sagen, dass Abbildungen "mit" orthogonalen Matrizen M (also z.B. x --> M*x) längentreu sein sollten.

4. Nicht orthogonal --> nicht längentreu wäre noch zu prüfen.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#L.C3.A4ngen-_und_Winkeltreue

Siehe hier

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Also die Aufgabenstellung lautet:

Im euklidischen Vektorraum ℝ⁵ mit der Standardmetriksei der Endomorphismus L gegeben durch L(x)=Ax mit

A={(0,1,0,0),(-1,0,1,1,0),(0,-1,β,-1,1),(0,-1,0,1,1),(0,0,-1,-1,0)}

Frage: Für welche β∈ℝ ist L längentreu?

Jetzt dachte ich das ich gucke ob die Matrix orthogonal ist. Jedoch ist sie das nicht und jetzt war meine Frage ob ich daraus schlussfolgern kann, das sie für keine β längentreu ist??

Sry aber ich verstehe das nicht richtig...

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Deine Idee gefällt mir. Ich kann leider nicht beurteilen, ob sie zielführend ist.

Anmerkung: Die erste Zeile von deinem A hat ein Element weniger als die andern.

Hast du denn A*A^T mit dem Beta drinn ausgerechnet?

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Oh ja das ist ein Tippfehler, da kommt A={(0,1,0,0,0),(-1,0,1,1,0),(0,-1,β,-1,1),(0,-1,0,1,1),(0,0,-1,-1,0)} hin ;)

Ja A*A^T habe ich berechnet aber da kommt nicht die Einheitsmatrix bei raus :(

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Lieber Gast nur zur logischen Klarstellung. Aus der Implikation

orthogonal => längentreu

folgt sicherlich nicht die Implikation

nicht orthogonal => nicht längentreu

Dazu müsste es sich um eine äquivalente Aussage halten, also insbesondere muss gelten:

längentreu => orthogonal.

In dem Link den ich dir oben gepostet habe wird aber eindeutig dazu Stellung genommen.

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Ja stimmt das ist schon logisch.

Aber ich verstehe trotzdem nicht wie ich die Aufgabe lösen soll.

Also ich weiß ja nun, das Orthogonalität längentreue impliziert.

Bei meiner Prüfung kommt aber heraus das die Matrix nicht orthogonal ist.

Daher kann ich mit meiner obigen Implikation nichts anfangen und muss einen anderen Weg finden, um herauszufinden ob  längentreue vorhanden ist.

Aber hier fehlt mir jegliche Idee :(

Ich komme schon langsam durcheinander, hast du denn keine Idee wie man auf die Lösung kommen soll? :)

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Ich verweise wieder auf den Link. Da steht wortwörtlich dass eine längentreue Abbildung bezügl. Standardbasis eine orthogonale Matrix besitzt. Das heißt also nicht orthogonal bedeutet für deine Aufgabe tatsächlich nicht längentreu. Ob deine Matrix orthogonal ist oder nicht hängt doch von β ab. Dazu hast du doch schon die passende Antwort.

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Ja die Matrix ist ja sogar schon unabhängig von β nicht orthogonal. Also lautet die Antwort: Es existiert kein β∈ℝ wofür L längentreu wäre?! Schonmal danke für deine Geduld :)

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Ja so sieht es aus (falls es keine Tippfehler mehr gibt und die Matrix stimmt).

Alternativ hättest du auch gar nicht über die Orthogonalität argumentieren müssen, denn wenn du den vektor

v = (0,0,1,0,0)^T betrachtest dann siehst du auch direkt, dass die Gleichung

||L(v)|| = ||v|| für kein β erfüllt ist.

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Ok vielen Dank, jetzt habe ich es Verstanden! :)

Answer 1

Deine Matrix hat det = b+2

Kann es sein, dass längentreu nur bei |det|=1 gilt ?

Dann wäre es nur bei b=-1 und b=-3 der Fall.

Comments

Hm also das gilt bei orthogonalen Matrizen aber ob man das auf die längentreue übertragen darf bin ich mir halt nicht sicher.

Ich habe aber noch einen anderen Ansatz:

Es gilt ja das IL(v)I=IvI sein muss bei längentreue.

Nun kann ich dies doch übertragen:

Wegen L(x)=Ax folgt: IL(x)=IAxI=IxI

Jetzt muss ich nur gucken das die Matrix A das x nicht verändert. Dies ist ja der Fall wenn der Eigenwert 1 beträgt (?) also muss ich die Eigenwerte meiner Matrix in Abhängigkeit von β bestimmen und kann dann sagen, für welche β der Eigenwert 1 ist und somit längentreue vorhanden ist.

Ist dies so richtig gefolgert?

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aber das gilt ja dann nur für die Eigenvektoren und nicht für alle.

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hm da hast du natürlich recht...

Ist auch viel zu umständlich die Eigenwerte in Abhängigkeit von β zu bestimmen...

Das muss denke ich mal wirklich was mit der orthogonalität und dann halt wie du schon meintest mit der Determinante zu tun haben ... Ist halt nur die Frage ob man das auf die längentreue übertragen darf?! :(