Grundsätzlich gilt für eine Matrix \(A \in \mathbb R^{m\times n}\):
\(R(A) = \{Ax\,|\, x \in \mathbb R^n\}\) ist der Spaltenraum von \(A\).
Aufgrund der Definition von \(P_A\) gilt
\(R(P_A) \subseteq R(A)\)
Du musst also nur noch zeigen, dass \(R(A)\subseteq R(P_A) \)
Wähle also ein \(Ax \in R(A)\), dann gilt
\(P_A(Ax)= A(A^TA)^{-1}A^TAx = Ax \)
Fertig.