Aloha :)
\(\vec u_1\) und \(\vec u_2\) sind die Richtungsvektoren der Ebene. Ihr Vektorprodukt steht auf beiden Vektoren und damit auf der Ebene senkrecht:$$\vec n=\vec u_1\times\vec u_2=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-8\\4-10\\8-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}$$Wir können nun \(\vec u_3\) auf diesen Vektor \(\vec n\) projezieren und erhalten dann den Anteil von \(\vec u_3\), der parallel zu \(\vec n\) und daher senkrecht zu der Ebene steht:
$$\vec u_3^\perp=\frac{\left(\vec n\cdot\vec u_3\right)\cdot\vec n}{\|\vec n\|^2}=\frac{\left(\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\right\|^2}=\frac{-27}{81}\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$Der Anteil von \(\vec u_3\), der parallel zu der Ebene liegt, also die gesuchte orthogonale Projektion, ist dann:
$$\vec u_3^\parallel=\vec u_3-\vec u_3^\perp=\begin{pmatrix}7\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}$$
Zur Kontrolle:
$$5\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$
