Orthogonale Projektion von u3 auf die von u1 und u2 aufgespannte Ebene

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von u3 auf die von u1 und u2 aufgespannte Ebene

Problem/Ansatz:

u1= 2 / 1 / 2

u2 = 2 / 4 / 5

u3= 7 / -1 / -2

Wenn ich nun den Nullpunkt als Stützvektor nehme habe ich die Ebene: x= (0/0/0)+s*(2/1/2)+t*(2/4/5)

Wie mache ich nun das mit der orthogonalen Projektion?

Answer 1

Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich die Ebene aufstellen soll, da man das immer mit 3 Vektoren gemacht hat aber hier nur u1 und u2 gegeben sind

In diesem Fall (hier werden nur Vektoren, nicht Punkte im ℝ³  betrachtet) , ist es ganz einfach:

Du kannst zum Aufspannen der Ebene einfach (als "dritten Punkt") noch den Nullpunkt  (0 | 0 | 0)  dazu nehmen !

Answer 2

Aloha :)

$\vec u_1$ und $\vec u_2$ sind die Richtungsvektoren der Ebene. Ihr Vektorprodukt steht auf beiden Vektoren und damit auf der Ebene senkrecht:$$\vec n=\vec u_1\times\vec u_2=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-8\\4-10\\8-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}$$Wir können nun $\vec u_3$ auf diesen Vektor $\vec n$ projezieren und erhalten dann den Anteil von $\vec u_3$, der parallel zu $\vec n$ und daher senkrecht zu der Ebene steht:

$$\vec u_3^\perp=\frac{\left(\vec n\cdot\vec u_3\right)\cdot\vec n}{\|\vec n\|^2}=\frac{\left(\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\right\|^2}=\frac{-27}{81}\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$Der Anteil von $\vec u_3$, der parallel zu der Ebene liegt, also die gesuchte orthogonale Projektion, ist dann:

$$\vec u_3^\parallel=\vec u_3-\vec u_3^\perp=\begin{pmatrix}7\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}$$

Zur Kontrolle:

$$5\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Comments

Wie hast du die Probe gemacht? wie kommst du auf die 5 und 2`?