Orthogonale Projektion auf den Spaltenraum Verständnisfrage

Question

$$\text{Wie zeige ich, dass } P_A \ \text{ein orthogonaler Projektor auf den Spaltenraum ist?} \\ \text{Mir ist bekannt, dass der Nachweis von Symmetrie und Idempotenz zeigt,} \\\text{dass P ein orthogonaler Projektor ist, nur wie zeige ich, dass dieser ein Projektor für den Spaltenraum ist?} \\P_A=A(A^TA)^{-1}A^T$$

Answer 1

Grundsätzlich gilt für eine Matrix \(A \in \mathbb R^{m\times n}\):

\(R(A) = \{Ax\,|\, x \in \mathbb R^n\}\) ist der Spaltenraum von \(A\).

Aufgrund der Definition von \(P_A\) gilt

\(R(P_A) \subseteq R(A)\)

Du musst also nur noch zeigen, dass \(R(A)\subseteq R(P_A) \)

Wähle also ein \(Ax \in R(A)\), dann gilt

\(P_A(Ax)= A(A^TA)^{-1}A^TAx = Ax \)

Fertig.