Zeigen Sie, dass die Matrixprodukte Aφ · Aψ, Aφ · Bψ, Bφ · Aψ, Bφ · Bψ ebenfalls orthogonale Matrizen sind.

Question

Sei Aφ jene orthogonale 2 × 2 Matrix, die eine Drehung um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn bewirkt, und Bφ jene orthogonale 2 × 2 Matrix, die eine Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit Neigungswinkel φ/2 zur x-Achse durchfuhrt.
(a) Zeigen Sie, dass die Matrixprodukte Aφ · Aψ, Aφ · Bψ, Bφ · Aψ, Bφ · Bψ ebenfalls orthogonale Matrizen sind.
(b) Welche linearen (orthogonalen) Abbildungen modellieren sie?

Answer 1

Sei Aφ jene orthogonale 2 × 2 Matrix, die eine Drehung um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn bewirkt

Matrix aufstellen.

und Bφ jene orthogonale 2 × 2 Matrix, die eine Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit Neigungswinkel φ/2 zur x-Achse durchfuhrt.

Matrix aufstellen.

Zeigen Sie, dass die Matrixprodukte Aφ · Aψ, Aφ · Bψ, Bφ · Aψ, Bφ · Bψ ebenfalls orthogonale Matrizen sind.

Ausrechnen.