Suche Ringendomorphismen Z und Q

Question

Aufgabe:

ich suche die Ringendomo. von ℤ und ℚ.

Wie komme ich auf die Lösungen?

Kann mir bei dieser Frage bitte jemand helfen?

Comments

ich suche die Ringendomo. von ℕ und ℚ.

Du meinst sicher von Z nach Q, so wie deine Überschrift
es sagt.

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Ja, genau ich meine von Z und Q

Danke!

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Sind nicht Endomorphismen immer Abbildungen einer

Menge auf sich selbst ?

Answer 1

Ein Ringhomomorphismus \(f\) von Z in einen Ring R (hier speziell Q)

ist durch das Bild der 1, also \(f(1)\) festgelegt. Bei Ringhomomorphismen

ist es üblich anzunehmen, dass 1 auf 1 abgebildet wird.

Daher ist der einzige Homomorphismus die Einbettung von Z in Q:

\(z\mapsto z/1=z\).

Comments

Entschuldige, ich bin schon ganz durcheinander…..

Ich suche einmal für Z und einmal für Q alle möglichen Endos.

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Ringendomorphismen von Z sind durch f(1) festgelegt.

Da 1 auf 1 abgebildet wird, ist daher die Identität der

einzige Ringendom. von Z.

Ein Ringendom. von Q liefert durch Einschränkung auf den Unterring

Z einen Ringhomom. von Z in Q. Dieser ist einfach die Einbettung

von Z in Q.

Ist nun \(q=\frac{z}{n}\)  mit nat. n und ganzem z,

So gilt z=f(z)=f(q*n)=f(q)*f(n)=f(q)*n und daher

f(q)=z/n=q. Der einzige Ringendo. von Q ist also

die Identität.