Vollständige Induktion. Zeige f^ (n) (x) = (2^n * e^x - 6)* e^x für alle n≥1.

Question

ich hatte Probleme diese Aufgabe in der Klausur zu lösen.

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.

Es sei f (x) = (e^x - 3)²

a) Zeigen Sie durch volständige Induktion, dass für alle f⁽ⁿ⁾ , die n-te Ableitung von f, gilt: f⁽ⁿ⁾ (x) = (2ⁿ * e^x - 6)* e^x für alle n≥1.

b) Es sei f : )-1, +∞) → ℝ : x↦ f(x) = (e^x - 3)² .

Bestimmen Se, falls existent, die lokale(n) Minimalstelle(n) und die lokale(n) Maximalstellen von f .

Hinweis: die Funktion f wurde in Teil (a) differenziert.

Comments

"ich hatte Probleme diese Aufgabe in der Klausur zu lösen."

Wie weit bist du denn gekommen? 

Answer 1

f (x) = (e^x - 3)²    

f ' (x) = 2 *(e^x - 3) * e ^x  

           =   (2e^x - 6) * e ^x  

Also stimmt es für n=1

Dann einfach die nächste Ableitung von  (2ⁿ * e^x - 6)* e^x  

bestimmen, das gibt 

  (2ⁿ * e^x )* e^x   +   (2ⁿ * e^x - 6)* e^x  

=   (2ⁿ * e^x +   2ⁿ * e^x - 6)* e^x  

=   (2ⁿ⁺¹ * e^x - 6)* e^x     Passt also .