Wie zeige ich 0 + n = n nach den Peano-Axiomen?

Question

Zeigen Sie mit Hilfe der Peano-Axiome und der Definition der Addition, dass für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung 0 + n = n erfüllt ist. (Hinweis: Benutzen Sie insbesondere das Induktionsaxiom.)

PS: Addition: 1) n+0: = n

                    2) n+s(m): = s(n+m)

Comments

Welches Axiom heisst denn Induktionsaxiom?

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Dasjenige, das behauptet, vollstaendige Induktion funktioniert. :)

Answer 1

Du sollst beweisen, dass die Aussageform $$A(n)\equiv0+n=n$$ für alle \(n\in\mathbb{N}\) eine wahre Aussage ist. Das ist natuerlich per vollstaendiger Induktion zu machen. Der Induktionsanfang \(A(0)\) ist klar nach Regel 1. Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass aus der Richtigkeit von \(A(n)\) für ein fixiertes \(n\) die Richtigkeit von \(A(s(n))\) folgt. In Kurzfassung: $$0+s(n)\stackrel{\text{Regel 2}}{=}s(0+n)\stackrel{\text{IV}}{=}s(n)$$

Comments

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In der letzten Zeile des Beweises schreibst Du: 0+s(n) = s(0+n). Bis hier hin ist alles klar; wie kommst Du aber darauf, dass s(0+n) = s(n)?

Es ist ja zu zeigen, dass 0+n = n. Daher ist mir nicht klar, wie es „auf einmal“ doch zusammengefasst werden kann.

Könnte mir hier bitte jemand helfen?