Warum sind holomorphe Funktionen stetig?

Question

ich wurde in meiner mündl. Prüfung gefragt, wieso holom fnkt. stetig sind.

Ich nannte : f holom in U -> f  kompl. diffbar in U -> f stetig in U

Jedoch reichte dieses nicht.

Kann man dieses irgendwie anderes zeigen, zb. über den Differenzenquotient ?

Paar ideen wären nett.

Answer 1

Der einfachste Weg zu zeigen, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt, geht (wie im Reellen) so:

$$f(z)-f(\zeta)=\frac{f(z)-f(\zeta)}{z-\zeta}(z-\zeta)\to f'(\zeta)\cdot0=0\qquad\text{($z\to\zeta$)}$$

Comments

Könntest du mir hierzu erklären, wieso genau das jetzt daraus folgt? also man erweiter dieses und wenn man z -> c schickt, erhält man die ableitung(c) * 0 [ Ich glaube das mal ohne beweis]. Jedoch wieso gilt nun hierbei stetigkeit?
Danke dir!