Binomialkoeffizient mit Summenzeichen. Tipp: kombinatorische Bedeutung, der Binominalkoeffizienten

Question

Kann da jemand helfen? :( Ich hab das schon probiert umzuformen komme da aber nicht weiter, als Tipp wurde kombinatorische Bedeutung, der Binominalkoeffizienten angegeben, aber mit was soll ich es am besten kombinieren? Habe es schon mit einer Zerlegung in ((2*n+1 über 2*k)+(n über k-1)) probiert.

Answer 1

 kombinatorische Bedeutung, der Binominalkoeffizienten angegeben, ? 

Bekannt Anzahl der Teilmengen einer Menge M mit 2n+1 Elementen. Das wäre Z= 2^{2n+1} .

Potenzgesetze: 2^{2n+1} = 2*2^{2n} 

Rechts in der Gleichung steht daher die Zahl Z/2. 

Links in der Gleichung

 werden summiert: Die Anzahl der "geraden" Teilmengen der Menge M.  Da M "ungerade" ist, gibt es zu jeder geraden Teilmenge immer genau eine ungerade Ergänzungsmenge. D. h. herauskommen muss die Hälfte von 2^{2n+1} und das ist wie gewünscht 2^{2n} . q.e.d. 

Comments

Ohne den Tipp würde man wohl eher "vollständige Induktion" versuchen.

Da wird es allerdings echt heftig.

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Wenn Binomialkoeffizienten kombinatorisch definiert werden, ist die kombinatorische Interpretation eine natürliche Interpretation davon. Vollständige Induktion wird v.a. dann durchgerechnet, wenn man gerade Potenzgesetze oder andere Umformungen, die heute der Computer machen kann, zu üben hat.