Integration von √(1-x^2) durch Substitution. wurzel aus (1-x^2)

Question

ich verstehe die Substitutionsregel nicht so gut. Ich finde im Internet auch verschiedene Anleitungen, aber irgendwie bekomme ich es nicht hin. Okay hab gerade gemerkt dass es am schluss nur sin ohne quadrat heißt

normalerweise sollte hier pi/4 rauskommen

Hat jemand einen Tipp wie man hier am besten vorgeht?

Answer 1

Hi,

bei Deiner Substitution hast Du dx = du/(-sin(u)). Wo kommt denn das her?

Hast doch:

x = cos(u)

dx = -sin(u)du

Dein Integral kannst Du also umschreiben zu:

-∫sin(u)·sin(u) du

Dabei entspricht die Wurzel dem sin(u) und dann das dx noch ersetzt mit -sin(u) du.

Das nun integrieren (partielle Integration) und man kommt in der Tat auf π/4.

Statt partiell zu integrieren kann man auch sin(u)^2 = 1/2-1/2*cos(2u) umschreiben und dies integrieren. Dann spart man sich die partielle Integration.

Grüße

Comments

Dankeschön!

Mich verwirrt das, ob man eine Variable durch eine funktion ersetzt oder umgekehrt.

Wie in diesem Beispiel müsste man dx =dt/2x rechnen

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Was meinst Du genau? Die Umschreibung von dx nach dt/(2x) ist mathematisch nicht 100% korrekt/schön. Bei dem Differential handelt es sich eigentlich nur um eine symbolische Schreibweise um zu verdeutlichen nach was integriert wird und ihm kommst sonst keine weitere Bedeutung zu. Bei der Substitution allerdings muss das Differential angepasst werden, das wie von Dir gezeigt durchgeführt wird.

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ich glaube jetzt hab ich es schon verstanden!

wie kann man sich das herleiten, dass sin^2 =0,5(1-cos(2x))?

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Das ist eigentlich eher etwas das man in der Formelsammlung nachschlägt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Potenzen_der_Winkelfunktionen

:)