Stipendiendauer Tilgungsrechnung Klausur

Question

Ein Vater legte bei der Geburt seines Sohnes ein Sparbuch an und zahlte am Ende eines jeden Monats 60 €  ein - über einen Zeitraum von 22 Jahren. Danach übergibt er es seinem Sohn zur Finanzierung des Studiums. Wie lange kann der Sohn von dem Geld studieren, wenn er jeden Monat 540 €  vorschüssig abhebt? Der Jahreszins beträgt 3.6%.

a) Bei der Übergabe des Kontos weist es ein Guthaben von  €  auf. (auf Cent genau)

b) Der Student kann die 12 monatlichen Raten  Jahre lang von dem Sparbuch abheben. 
(Eine Berechnung des Restguthabens und der Monate, für die es danach noch reichen würde, ist hier nicht gefordert.)

Das sind Klausuraufgaben, ich bin ratlos.. Schonmal

Answer 1

Hallo Blackmaster,

a)

60 · (12 + 0,036 · (12 - 1) / 2) · (1,036²² - 1) / 0,036  ≈  23934,14 [€]

b)

23934.14 ·1.036ⁿ  =  540 · (12 + 0.036·(12 + 1) / 2) · (1.036^n - 1) / (1.036 - 1)       #

→   n  ≈ 3.95  [ Jahre ] 

Bei der Ausrechnung kannst du zuerst  x = 1,036ⁿ setzen, und nach x auflösen 

 →  x ≈ 1.149985969

1,036ⁿ = 1.149985969          | ln anwenden , dann Logarithmensatz  ln(a^b) = b * ln(a)

n * ln(1,036) = ln(1.149985969)

n =  ln(1.149985969) / ln(1,036)  ≈ 3.951400262

Gruß Wolfgang

Comments

Ich verstehe die Lösung hier nicht ...

Lauft Aufgabenstellung haben wir 60 Euro Montalich * 12 = 720 € im Jahr
720 Euro  22 jahre lang mit einem Zinsatz von 3.6 %

was für eine formel wird hier benutzt ? Ausserdem wieso wird aus 0.036 am ende 0.36 ?

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die 0,36 war ein Tippfehler, muss 0.036 heißen, habe ich korrigiert.

Statt der Monatsraten r wird die sogenannte Jahresersatzrate  60 · (12 + 0,036 · (12 - 1) / 2) benutzt:

Jahresersatzrate_{nachschüssig} =  r * (m + i * (m -1) / 2)  ,    m = Anzahl  Raten pro Jahr

 Jahresersatzrate_vorschüssig   =  r * (m + i * (m +1) / 2)  ,   m = Anzahl  Raten pro Jahr

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Wie kommt man auf die 1.149985969?

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23934.14 ·x  =  540 · (12 + 0.036·(12 + 1) / 2) · (x - 1) / (1.036 - 1) 

23934.14 ·x = 6606.36 ·(x - 1) / 0,036

.....

einfach nach x auflösen

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23934.14 ·x = 6606.36 ·(x - 1) / 0,036      |  :  23934.14

x= 6606.36 ·(x - 1) / 0,036 / 23934.14      |  :  (x - 1)

x / (x - 1) =  (6606.36 / 0,036) / 23934.14 

komme grad auch nicht klar mit dem umstellen ?

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Danke, bin in der Zwischenzeit auch schon auf die 1,149... gekommen - hatte zunächst ein falsches Zeichen abgeschrieben

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wie sieht die umgestellte formel nach x aus ?

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23934,14*x = 540*(12+0,036*(12+1)/2)*(x-1)/(1,036-1)
(=) 23934,14*x = 6606,36 * (x-1)/(1,036-1)
(=) 23934,14*x = 6606,36x - 6606,36 / 0,036
(=) 23934,14*x = 183510x - 183510
(=) -159575x = -183510
(=) x = 1,149985969