Seien x0, x1, x2, y0, y1, y2 gegeben und betrachten wir die lagrange polynome

Question

l0(x) = x-x1 / x0-x1 * x-x2/x0-x2,   l1(x) = x-x0/x1-x0 * x-x2/x1-x2, l2(x) = x-x0/x2-x0 * x-x1/x2-x1

Zeigen Sie:

a) li(xj) = delta ij für i, j= 0,1,2

b) Das Polynom p(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x) erfüllt die Bedingung p(xi)=yi,  i =0,1,2   (p.s. es kommt hier ein y und ein l vor)

Sorry für die schlechte Formatierung...

Danke schon mal ;)

Comments

Wie kann ich das lagrange polynom beweisen?

bei meiner aufgabe geht es um die lagrangeinterpolation...

die aufgabe besagt, dass wenn ich die ersten drei elemente der lagrangeinterpolation (polynome x0,x1,x2) miteinander addiere, dann erfüllt dies die Bedingung p(xi)=yi mit i=0,1,2

Hat vielleicht jemand von euch eine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Hi,
das Lagrange-Polynom lautet ja
$$ \mathit{l}_i(x) = \prod_{j=0 \\ j \ne i}^n \frac{x-x_j}{x_i - x_j} $$ D.h.
$$ \mathit{l}_i(x_i) = \prod_{j=0 \\ j \ne i}^n \frac{x_i-x_j}{x_i - x_j} = 1 $$ und
$$ \mathit{l}_i(x_k) = \prod_{j=0 \\ j \ne i}^n \frac{x_k-x_j}{x_i - x_j} = 0 $$

mit \( k \ne i \) da ja der Index \( j \) auch mal den Wert \( k \) annimmt. Also insgesamt
$$ \mathit{l}_i(x_k) = \delta_{ik}  $$
Für das Polynom
$$ P(x) = \sum_{i=0}^n \mathit{f}_i \mathit{l}_i(x) $$ folgt
$$ P(x_k) = \sum_{i=0}^n \mathit{f}_i \mathit{l}_i(x_k) = \sum_{i=0}^n \mathit{f}_i \delta_{ik} = \mathit{f}_k  $$

Comments

Vielen lieben Dank :)

Nur eine Frage dazu:

Wieso weiß man, dass li(xi)... =1 ist und li(xk)... =0 kann man das irgendwie berechnen?

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HI,

1. Frage: Alle Brüche in dem Produkt werden 1

2. Frage: Wenn der Index \( j = k \) wird, ist der entsprechende Ausdruck \( 0 \)