Nullteiler in einem Polynomring

Question

Sei R ein kommutativer Ring und sei

f = a_0 + a_1 *t + a_2 * t^2 + ... + a_n * t^n  aus R [ t ] .

Beweise: Falls f ein Nullteiler in R [t ] ist, so existiert ein b aus R\{0], so dass

b * a_i = 0    für alle i = 0 , 1, ... , n .

Leider habe ich gar keinen Ansatz. Kann mir jemand helfen bitte?

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Sei R ein kommutativer Ring und sei

f = a_0 + a_1 *t + a_2 * t² + ... + a_n * tⁿ  aus R [ t ] .

Beweise: Falls f ein Nullteiler in R [t ] ist, so existiert ein b aus R\{0], so dass

b * a_i = 0    für alle i = 0 , 1, ... , n .

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0 ≠ f ist Nullteiler, also existiert ein ∑b_i*t^i = g ≠ 0 derart, dass f*g = 0 das Nullpolynom ist. Seien nach Cauchy c_0, ... , c_n+m die Koeffizienten von f*g=0, entsprechend c_i = 0 ∀ i ∈ { 0, _ , n+m }. Wie finde ich nun ein b ≠ 0, sodass b * a_i = 0    für alle i = 0 , 1, ... , n ?

Answer 1

Seien nach Cauchy c_0, ... , c_n+m die Koeffizienten von f*g=0, entsprechend c_i = 0 ∀ i

Die Koeffizienten c_i sind null, weil wir gerne haetten, dass f·g = 0 ist, nicht wegen Cauchy. Die Formeln, wie man die c_i aus den a_i und den b_i ausrechnet, wirst Du ganz sicher explizit brauchen.

Comments

Was bist du eigentlich für ein Larry alter? Kannst du lesen? Ich habe die Koeff. des Faltungsproduktes, das nach Voraussetzung, nicht nach Cauchy, gleich dem Nullpolynom ist, definiert und nicht behauptet, diese wären wegen Cauchy null. Wenn du mir nicht helfen möchtest, okay, aber bitte versuch dein jämmerliches Leben irgendwo anders zu kompensieren. Wieso ist man nur auf der Suche nach was (traurigerweise nicht mal wirklich) Fehlerhaftem, um sich selbst besser zu fühlen, anstatt mal zu helfen? wow

Answer 2

Leider habe ich gar keinen Ansatz.

Verstehe ich ueberhaupt nicht. Es liegt doch sowas von auf der Hand, dass man zu dem \(f\ne0\) auch noch ein \(g\ne0\) anschreibt, das Produkt \(fg\) ausrechnet und dann benutzt, dass alle Koeffizienten von \(fg\) verschwinden sollen.