Integral von Funktionen mit wechselndem Vorzeichen

Question

Ich versuche gerade die Fläche zu berechnen, die die Funktion f(x) = x^4-4x2+3 mit der x-Achse einschließt. Nullstellen sind 0,1 und √3 (achselsymmetrisch, betrachte deswegen mal nur den 1. Quadranten. Mit meinen eigenen Berechnungen komme ich auf ca. 2.35 FE, jeder Integralrechner, den ich zur Kontrolle benutzt habe gibt mir aber einen ganz anderen Wert, bei ca. 1,39 FE. Liegt es daran, dass die "negative" Fläche addiert wurde? Im Unterricht wurde uns gesagt, dass immer Betragsstriche gesetzt werden sollen, da es keine negativen Flächen gibt. Was ist nun richtig?

Answer 1

f(x) = x^4 - 4·x^2 + 3

F(x) = x^5/5 - 4·x^3/3 + 3·x

F(1) - F(0) = 28/15 - 0 = 28/15

F(√3) - F(1) = 4/5·√3 - 28/15

A = 2 * (28/15 + |4/5·√3 - 28/15|) = 112/15 - 8/5·√3 = 4.695 FE

Comments

Also muss man doch die Betragsstriche setzen, dann stimmt mein Ergebnis auch (wenn man es mal zwei nimmt). Wieso berechnen die ganzen Integralrechner (und GeoGebra auch) es denn so anders?

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Vergleiche

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B3-4x%5E2%2Bx%5E4,%7Bx,-Sqrt%5B3%5D,Sqrt%5B3%5D%7D%5D

und

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B%7C3-4x%5E2%2Bx%5E4%7C,%7Bx,-Sqrt%5B3%5D,Sqrt%5B3%5D%7D%5D

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Das heißt, einfach immer Betragsstriche setzen und dann kommt es hin?

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Das reine Integral berechnet die Flächenbilanz im Intervall. Also die Flächen oberhalb der x-Achse minus die Flächen unterhalb der x-Achse.

Geht es dir um die Flächen musst du die Beträge der Flächen addieren.

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Ja. Wenn du Betragsstriche setzt werden alle negativen Flächen positiv. Und dann kommt es hin wenn du Flächen berechnen musst.