Beweis Konstruktion regelmäßiges Sechseck zu vorgegebener Strecke

Question

ich soll ein regelmäßiges Sechseck zu einer vorgegebenen Strecke konstruieren. 
Das ist an sich auch kein Problem.

Ich habe meine Strecke AB mit 6 cm gezeichnet.

Einen Kreisbogen um A mit Radius AB und einen Kreisbogen um B mit Radius AB zeichnen

Einen der Schnittpunkte der Kreisbögen wählen als Mittelpunkt des Umkreises des Sechseck.

Dann mit Mittelpunkt M und Radius AM einen Kreis zeichnen.

Dann mit Mittelpunkt A und Radius AM einen Punkt auf dem Kreisbogen abtragen, dann diesen als Mittelpunkt und noch einen Punkt abtragen, bis man bei B angekommen ist.

Nun soll ich meine Konstruktion aber beweisen. Wie soll so etwas aussehen? Ich habe es ja selber gezeichnet,

was muss denn da noch bewiesen werden.....?

Hoffe mir kann jemand bei meinem Problem weiterhelfen,

Schönen Feiertag euch noch!

Answer 1

Hallo rosakatze,

Nach der Konstruktion des Punktes \(M\) entsteht ein gleichseitiges Dreieck \(ABM\). In einem gleichseitigem Dreieck sind alle drei Winkel \(=60°\). Daraus folgt, dass sich genau sechs solcher Dreiecke um den Punkt \(M\) herum ohne Lücke oder Überlappung gruppieren lassen. Da \(6\cdot 60°=360°\) ist. Da alle Seiten aller Dreiecke gleich lang sind, sind es auch die Seiten des Sechsecks. Zudem gilt offensichtlich für jeden Winkel im Sechseck \(2\cdot 60°=120°\), da er sich jeweils aus 2 Winkeln zweier Dreiecke zusammen setzt  - diese sind also auch alle gleich groß.

Daraus folgt, dass es sich bei der Figur um ein regelmäßiges Sechseck handelt.

Gruß Werner

Comments

Vielen vielen Dank, jetzt ergibt das alles auch Sinn für mich! :)