Quadratur des Kreises

Question

Mithilfe  $$ \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } = 3.14...$$ lässt sich eine angenäherte Quadratur des Kreises geometrisch ganz einfach durchführen. Gibt es andere  einfache Verfahren?

Comments

Z.B. \(3+\tfrac17=3.14\dots\) oder \(3+\frac{16}{113}=3.141592\dots\).

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Ja, Näherungswerte gibt es jede Menge. Ich meinte Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

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Lässt sich \(\tfrac17\) nicht konstruieren?

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https://homepages-fb.thm.de/boergens/marken/briefmarke071.htm

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Hallo Werner;

solltest du da wider Erwarten nochmal hereinschauen - bei meinem Taschenrechner kommt bei Wu.2 + Wu.3 = 3,14626437..  heraus;   ist aber schon eine brauchbare Annäherung.

Gruß !  geomane

Answer 1

Du kannst mit Zirkel und Lineal die vier Grundrechenarten ausfuehren (Zahlen werden als Streckenlaengen gedeutet) und Quadratwurzeln ziehen. Male einen beliebigen Kreis hin und erklaere seinen Radius r zur Einheit. Dann kannst Du jede rationale Zahl als Strecke konstruieren, z.B. eben auch 3.1415. Da r=1, ist das auch die (genaeherte) Flaeche des Kreies. Konstruiere noch die Wurzel daraus und Du hast die Seitenlaenge Deines Quadrates.

Comments

"Jede rationale Zahl als Strecke konstruieren" - wie geht das, nur mit Zirkel und Lineal?

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Ausgehend von der Einheitsstrecke bekommt man alle natuerlichen Zahlen, indem man eben diese Einheitsstrecke oft genug hintereinander auf einer Geraden mit dem Zirkel abtraegt. Dividieren geht dann mit dem Strahlensatz. Versuche mal, 22/7 so zu konstruieren.

Wurzelziehen schliesslich geht mit dem Hoehensatz.

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Ich glaube, mir dämmert etwas. Danke erstmal.

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Eigentlich ist das Verfahren ja nicht ganz "sauber": Wenn ich 22 bzw. 7 mal die Einheitsstrecke auf Strahlen abtrage, ist das doch so, als ob ich ein Lineal mit Maßeinteilung benutze: ich muss doch dabei ZÄHLEN. Ich glaube nicht, dass das die Forderung nach "nur mit Zirkel und Lineal" erfüllt.

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Da glaubst Du ganz falsch. Den Abstand zweier gegebener oder konstruierter Punkte mit dem Zirkel aufzunehmen und dann woanders abzutragen ist ein erlaubter Konstruktionsschritt. Zaehlen ist auch nicht verboten. Sonst koennte ich z.B. auch kein regelmaessiges 192-Eck konstruieren.

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Die Frage ist, was eigentlich ein "Lineal" ist. Ein Strahl, auf dem ich 7 mal denselben Abstand abtrage, ist in meinen Augen ein Lineal mit Maßeinheit, also kein Lineal in dem geforderten Sinne. Zählen ist Algebra, aber nicht Geometrie. Man müsste mal die alten Griechen fragen.

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Wenn Du meinst, dass man ueber diesen Gegenstand noch philosophieren koennte, dann kann ich Dir auch nicht mehr helfen.

Zaehlen ist nebenbei Arithmetik und keine Algebra. Und offensichtlich muss man in der Geometrie zaehlen koennen, denn sonst koennte man nicht mal ein Dreieck als solches erkennen, bzw. von einem Viereck unterscheiden.

Wegen Deiner schraegen Lineal-Analogie schaust Du am besten mal die offiziellen Regeln für das Konstruieren mit Zirkel und Lineal nach, gerne auch bei Euklid. Tipp: Es wird bei den Konstruktionen oben nichts gemessen. Das waere in der Tat ein Foul.

Answer 2

Es geht offensichtlch um näherungsweise Darstellungen von π. Da kann man sich beliebig viele ausdenken, z.B. 57/50 oder 3927/1250. Es kommt immer darauf an, wie gut die Näherung sein soll.

Comments

\(\tfrac{57}{50}\) ist als Näherung für \(\pi\) wohl eher ungeeignet.

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Ja, es sollte 157/50 heißen. Verschrieben.

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Ich schrieb "geometrisch". D.h. ich meinte Konstruktionen mit Zirkel und Lineal: aus einem Kreis ein (fast) inhaltsgleiches Rechteck machen. Da hilft mir z.B. 22/7 gar nicht.

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Lieber Werner, jede konstruierbare Zahl (≈π) hilft dir, für jeden Radius r ein Rechteck von ungefähr π·r² Flächeneinheiten nur durch Konstruktion herzustellen. Das gilt ganz besonders für rationale Zahlen (≈π). Denk mal drüber nach.