Erklärung Mittelwert und Erwartungswert (Berechnung)

Question

Ich habe mir auf mehreren Seiten Definitionen zu den Begriffen angeschaut. Ich hab jetzt verstanden das der Mittelwert (arithmetisches Mittel oder Durchschnitt) der Quotient der Summe der Werte und der Anzahl der Werte. Dann hab ich aber als Definition für "Erwartungswert" das gefunden: "Führt man einen Zufallsversuch sehr oft durch und bildet aus den Ergebnissen den ( gewichteten ) Mittelwert, so erhält man den Erwartungswert." Bei der Berechnung eines nachfolgenden Beispiels stand dort: E(X) = 2 · 0,3 + 4 · 0,5 + 6 · 0,2 = 3,8. Warum wird der Erwartungswert als Mittelwert definiert, aber dann nicht als Quotient berechnet? Wie ist der Erwartungswert überhaupt zu berechnen? Wo liegt der Unterschied in der Berechnung?

Dankeschön im Voraus! :)

Answer 1

Sieh dir einmal etwas tiefer auf dieser Seite
die " ähnliche Frage " an.

https://www.mathelounge.de/9711/erwartungswert-standardabweichung-standardabweichung

Answer 2

Beispiel. Ein Würfel wird 100 mal geworfen:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Häufigkeit	15	17	18	14	19	17

Summe aller Augenzahlen: 15·1 + 17·2 + 18·3 + 14·4 + 19·5 + 17·6 = 356

Mittelwert: 356/100 = 3,56

Man könnte aber auch so rechnen:

        15/100·1 + 17/100·2 + 18/100·3 + 14/100·4 + 19/100·5 + 17/100·6 = 3,56.

Das heißt, anstatt mit den absoluten Häufigkeiten 15, 17, 18 etc. zu rechnen, rechnet man mit den relativen Häufigkeiten 15/100, 17/100, 18/100 etc. und erspart sich das abschließende Dividieren durch die Anzahl der Würfe. Wegen Bruchrechenregeln bekommt man beides mal das gleiche Ergebnis.

Den Erwartungswert berechnet man so wie in der zweiten Rechnung, nur dass man nicht die relative Häufigkeit verwendet, sondern die Wahrscheinlichkeit.

Comments

D.h. der Erwartungswert wird so berechnet:

1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6=3,5Und der Mittelwert: Summe aller Augenzahlen / Anzahl der AugenzahlenDann ist der Erwartungswert ja was theoretisch im Mittel gewürfelt werden sollte und der Mittelwert was tatsächlich im Mittel gewürfelt wurde, oder?

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Ja. Und je mehr gewürfelt wird desto mehr nähert
sich der Mittelwert dem Erwartungswert.