konvergent oder divergent reihe

Question

Ich komm bei den Folgen nicht weiter;

Bei der a hab ich es umgeschrieben dass da √n/2ⁿ  steht, aber das hat mir nichts gebracht. 

Und bei den anderen komm ich gar nicht voran.

Tipps wären hilfreich.

Answer 1

bei a Wurzelkriterium:

n-te Wurzel aus |a_n| =  (√n)^1/n   / 2 = n^1/(2n) / 2  geht gegen 1/2 < 1, also Reihe konvergent.

c) Quotientenkrit.   a_n+1 / a_n =  ( (n+1)⁴ / 3 ⁿ⁺¹ )   /  ( n⁴ / 3ⁿ )

=  (n+1)⁴ /  ( 3 * n⁴ )   geht gegen 1/3 < 1 , also konvergent.

b) √(n+1) - √n   als Bruch mit Nenner 1 schreiben und mit

√(n+1) + √n  erweitern gibt mit der 3. binomischen Formel dann

= 1 / ( √(n+1) + √n  )  <  1 / (2√n)       #

 und   2√n ist für n > 4 kleiner  als n , also bei # weiter mit  

1 / (2√n)     >   1/n   und damit ist die

harmonische Reihe eine divergente Minorante.

Comments

Was machst du genau bei der a)?

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n-te Wurzel aus |a_n|

Das an hattest du doch schon umgeformt, also

=  n-te Wurzel aus   (  √n/2ⁿ  )

=  (√n)^1/n   / 2