Funktionsgleichung A und B bestimmen

Question

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie die reellen Konstanten A und b so, dass die Funktionsgleichung für alle x-Werte richtig ist.

√3 * sin(x) + cos(x) = A * sin (x + b)

Answer 1

Additionstheorem:

sin(x+b) = sin(x)*cos(b) + cos(x)*sin(b)

also

A*sin(x+b)

= A*sin(x)*cos(b) +A* cos(x)*sin(b)

Damit es passt , müsste sein

A*cos(b) = √3   und  A*sin(b)=1

==>  A = √3 / cos(b) in die 2. einsetzen:

(  √3 / cos(b) ) *sin(b)=1

                 tan(b) = 1 / √3

also z.B.  b=pi/6  und damit

A =  √3 / cos(pi/6)  =  √3 / (√3 / 2 ) = 2

Also 2*sin(x+pi/6)

                         

Answer 2

Hallo ih,

man kommt auch ohne Additionstheorem aus:

√3 * sin(x) + cos(x) = A * sin (x + b)    muss  f.a. x∈ℝ  gelten:

x = - b

√3 * sin(-b) + cos(-b) = 0  → √3 * sin(-b) = -  cos(-b)  → sin(-b) /  cos(-b) = -1 / √3

tan(-b) =  -1 / √3  →    b = π/6 + k * 2π    [ k∈ℤ ]     z.B.  b = π/6  

x = 0

 1 = A * sin(b)  →  A = 1 / sin(π/6 + k*2π)  →  A = 2   

Gruß Wolfgang