Explizite Formel finden für xn+1= (xn-n+1)(n+1)

Question

Liebe Community!

Ich versuche schon die ganze Zeit eine expl. Formel zu finden (exp.erz. FKt.) für alle n aus den natürlichen Zahlen ℕ₀ für a₀=1 und

a_n+1= (a_n-n+1)(n+1)

Dauernd verrechne ich mich und komm einfach nicht dahinter wo mein Fehler liegt. Kann mir i.wer bitte helfen? das wär sehr lieb.

Glg

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Vermutung: \(a_n=n!+n\).

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Gerade wollte ich schreiben, dass das - zumindest ohne Computerprogramm - vermutlich ein ziemlich aussichtsloses Unterfangen ist.

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ist das wirklich so heftig? also wir sollen das schon händisch rechnen.......^^

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Hatte zuerst irgendwie  a_n+1= (a_n-n+1)(n+1) als  a_n+1= (a_n-n+1)/(n+1)  wahrgenommen. Das ergab tatsächlich aussichtslose Werte.

[ Man hat also nur in Sonderfällen Aussicht auf Erfolg :-) ]

Habe nun  a_n+1 = (a_n-n+1)*(n+1)  mit meiner gleichen Excel-Kalkulation überprüft - wie nn wohl auch - und die Vermutung von nn ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit  richtig:

n	an	n! + n
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	9	9
4	28	28
5	125	125
6	726	726
7	5047	5047
8	40328	40328
9	362889	362889
10	3628810	3628810

.......................

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Vielen Dank für eure Mühen!!

Ich glaube ich hätte das echt nicht  gesehen ! Danke^^

Glg

Answer 1

der Hinweis von nn ist doch schon mal gut  :)

zeigen kann man es wie folgt:

$$ { a }_{ n+1 }=({ a }_{ n }-n+1)(n+1)\\{ a }_{ n+1 }-(n+1)=({ a }_{ n }-n)(n+1)\\\text{substituiere }\\{ a }_{ n+1 }-(n+1):={ b }_{ n+1 }\\{ a }_{ n }-n:={ b }_{ n }\\\rightarrow { b }_{ n+1 }={ b }_{ n }(n+1)\\\text{Das ist die Rekursionsgleichung der Fakultät}\\{ b }_{ n }=n!\rightarrow { a }_{ n }=n!+n $$

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Daumen von mir :-)