Kurvenuntersuchungen Funktionen

Question

Was ist der Unterschied zwischen monoton steigend und streng monoton steigend?

Für monton steigend gilt irgendwie f´(x)>=0 und für streng monoton steigend gilt f´(x)>0? Hat jemand ein Beispiel?

Answer 1

Hi probe,

das ist so nicht ganz richtig, bspw ist f(x) = x^3 überall streng monoton steigend, obwohl f'(x) = 3x^2 und somit f'(x) = 0 ist. Dabei wird strenge Monotonie eher argumentiert über f(x_(2)) > f(x_(1)) mit x_(2) > x_(1). Sprich der Funktionswert an der Stelle x_(2) muss größer sein als der an der Stelle x_(1). Dabei ist irrelevant ob einer von beiden der Wert 0 angenommen hat.

Für einfache Monotonie reicht f(x_(2)) ≥ f(x_(1)), sprich es darf auch mehrmals derselbe Wert der Funktion angenommen werden.

Grüße

Comments

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Hat sich geklärt.                  

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x_(1) und x_(2) sind zwei beliebige x-Werte. Und ja, x_(2) muss größer sein als x_(1).

Und wenn man ein festes x_(1) hat müssen alle x_(2) (egal wie nah an x_(1)) größer sein als x_(1). Sonst liegt keine strenge Monotonie vor.

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f(x)=x³+x
x₁ =10 x₂=20
f(10)=1010
f(20)=8020
Wie geht es nun weiter? Ist es jetzt streng monoton steigend oder streng steigend?

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Das mag zwar ein Indiz sein, dass Monotonie vorliegt, aber was dazwischen passiert ist nicht klar.

Normal nimmt man x_(1) und x_(2) = x_(1)+ε, wobei ε beliebig klein ist. Weiß aber nicht, ob das den Stoff übersteigt?! Eventuell ist eine einfache Aussage über Ableitung doch ausreichend?!

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Eventuell ist eine einfache Aussage über Ableitung doch ausreichend?!
Wie denn?

f(x)=x³+x
f´(x)=3x²+1
0=3x²+1
Keine Nullstellen...
?

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Es kommt ja nicht darauf an, ob Du Nullstellen bei der Ableitung hast, sondern dass diese > 0 ist.

Und 3x^2+1 ist stets größer 0. Also streng monoton steigend ;).

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Hast du eine ähnliche Aufgabe für mich?

Answer 2

Monoton steigend wenn

f(b) >= f(a) wenn b > a

Streng monoton steigend, wenn

f(b) > f(a) wenn b > a

Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion

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