Zeige dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist ( mit Partielle Integration)

Question

ich wollte die unten beschriebene Aufgabe mit der partiellen Integrationsformel lösen, ich habe die Aufgabe schon auf folgender weise gelöst : Bedingung : F (x)= f (x) und dann mit der Produktregel F(x) gebildet.

Mit der partiellen Integrationsformel wollte ich die Aufgabe anfangs lösen, habe es aber leider nicht hinbekommen. 


 Formel: 

Comments

ich habe es jetzt zum dritten mal versucht, 

h(x) = 5/2 - x und                 I(x)= e^{-0,5x}

h(x)= -1 und I(x) = -1/2 e^{-0,5x} 

In der Formel eingesetzt :

=( 5/2 - x) * ( -1/2 e^{-0,5x} ) - ( (-x * 2 * e ^{-0,5x} )dx

und  - ( (-x * 2 * e ^{-0,5x} )dx hochgeleitet: 

= ( 5/2 - x) * ( -1/2 e^{-0,5x} ) + x * (-2e ^{-0,5x} )

und ausmutlipliziert: 

= - 5/4 e^ (-0,5x)  + 1/2 e^{-0,5x} * x - 2 *e ^{-0,5*x}  * x

und ab hier weiß man dass ich irgendwas falsch mache, weil es nicht mal Ansatzweise nach F(x) aussieht.

Answer 1

Bei dieser Art von Fagestellung:

Behauptung "F ist eine Stammfunktion von f "

kannst du dir eigentlich die partielle Integration sparen und einfach F ableiten. (Produktregel und Kettenregel der Ableitung richtig kombinieren!).

Kommt f heraus, ist die Behauptung gezeigt.

Kommt f nicht heraus, ist gezeigt, dass die Behauptung falsch ist. 

Comments

die Aufgabe habe ich wie oben beschrieben schon mit dem Ansatz:                               

F(x) = f(x) lösen können . Können Sie mir vielleicht trotzdem sagen was ich hier mit der Anwendung der Formel falsch mache?  

F(x) = (5/2 - x) * ( e^{-0,5x} )

h(x) = 5/2 - x und                 I(x)= e-0,5x

h(x)= -1 und I`(x) = -1/2 e^-0,5x 

In der Formel eingesetzt :

=( 5/2 - x) * ( -1/2 e^-0,5x ) - ( (-x * 2 * e ^-0,5x )dx

und  - ( (-x * 2 * e ^-0,5x )dx hochgeleitet: 

= ( 5/2 - x) * ( -1/2 e^-0,5x ) + x * (-2e ^-0,5x )

und ausmutlipliziert: 

= - 5/4 e^ (-0,5x)  + 1/2 e^-0,5x * x - 2 *e ^-0,5*x  * x

und ab hier weiß man dass ich irgendwas falsch mache, weil es nicht mal Ansatzweise nach F(x) aussieht.

F

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F(x) = (5/2 - x) * ( e^-0,5x )

h(x) = 5/2 - x und                 I(x)= e^-0,5x

h(x)= -1 und I(x) = -1/2 e^-0,5x 

Das passt nicht zur Formel.

In der Formel kommt links eine Funktion h und eine abgeleitete Funktion g' vor.

Rechts kommt nicht mehr g' sondern zwei mal g vor dafür noch h und h'. Also bloss Folgendes machen:

F(x) = (5/2 - x) * ( e^-0,5x )

h(x) = 5/2 - x und                 g' (x)= e^-0,5x

h`(x)= -1 und g(x) = -2 e^-0,5x 

Das in die Formel eingesetzt

=( 5/2 - x) * ( -2 e^-0,5x ) - ∫ ( (-1) * (-2) * e ^-0,5x )dx

=( 5/2 - x) * ( -2 e^-0,5x ) - 2 ∫ ( e ^-0,5x )dx

Bitte kontrollieren und dann nochmals versuchen. (ohne Gewähr) 

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Vielen Dank für die Aufklärung, also nimmt man beim Ansatz der partiellen Integrationsformel am Anfang  sofort an dass der Zweite  der Stammfunktion F(x) = (5/2 - x) * ( e^-0,5x )  eine Ableitung ist oder liege ich falsch?

der zweite Teil ist hier  g' (x)= e^-0,5x       

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Die Stammfunktion hast du doch gar nicht verwenden wollen! 

"dass der zweite Faktor  von f(x) = (5/2 - x) * ( e^-0,5x )  eine Ableitung ist  "

Man schaut, welchen Faktor man mit einer Ableitung entscheidend vereinfachen kann und integriert (wenn möglich) den andern. 

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Okay, jetzt habe ich es endgültig verstanden vielen Dank nochmals für alle Antworten! 

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Freut uns und bitte! 

Answer 2

Wähle f(x) = 5/2 - x und g'(x) = e^-0,5x in der Formel für partielle Integration.

Comments

du meinst sicher:   

Wähle f(x) = 5/2 - x und g '(x) = e^-0,5x in der Formel für partielle Integration. 

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Ja, natürlich. Habe ich geändert.

Answer 3

Vorbemerkung
Du hast in deiner Frage gesagt das du an der
Aufleitung interessiert bist. Das ist eine klare
Aussage.
Ich weiß nicht was manche Leute für ein
Affentheater machen um dich gekonnt
misszuverstehen.

Beide Faktoren deiner Aufgabe können auf- oder
abgeleitet werden.
Ziel der partiellen Integration ist es jedoch aus
einem Faktor das x wegzubekommen
Dies geht über
u = 5/2 - x
u ´= -1

Hier meine Umformungen

Zu jeder Integration gehört die Integrationskonstante C.

Diese ist bei der angegebenen Stammfunktion 6.

Comments

Danke,  für die ausführliche Erklärung des Ziels und auch die Rechnung , für die partielle Integration !

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Gern geschehen.
Dazu ist das Forum da.

Answer 4

Titel: Zeige dass die Funktion die Stammfunktion von f ist ( mit Partielle Integration)

Besser: Zeige, dass die Funktion F die Stammfunktion von f ist! (mit partieller Integration)

Eine Frage habe ich: Ist der Hinweis "partielle Integration" Teil der Aufgabenstellung gewesen? Falls nicht, könntest du den hier einfacheren Nachweis \(F'(x) = f(x)\) benutzen.

Comments

    Partielle Integration ist nicht Teil der Aufgabenstellung und den Nachweis mit dem Ansatz F` (x) = f(x)  habe ich schon hinbekommen. Ich wollte die Aufgabe trotzdem mit der Formel hinkriegen, da ich es noch nie angewendet habe. Es hingekriegt habe ich es jedoch nicht.

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Aha, danke. Somit ist dein Anliegen klar.