gewöhnliche Differentialgleichungen lösen: y'(x)^2 = e^ (y(x))

Question

Ich soll folgende gewöhnliche Differentialgleichung lösen, habe aber noch keine richtige Idee.

1.  y'(x)² = e^y(x)

   Sieht für mich wie ein Euler Ansatz aus, kann nur leider nicht damit weitermachen.  

   
   

Answer 1

Hallo. Die ist doch separierbar, oder?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y%27)%5E2+%3D+e%5Ey

(y')^2 = e^y        | √

y' = e^{y/2}            

dy/dx = e^{y/2}     | * dx , * e^{-y/2} 

e^{-y/2} dy  = 1 dx   | ∫

-2 * e^{-y/2}  +C1= x + C2      | C1 und C2 zusammenfügen

-2 * e^{-y/2}  = x + C        |:(-2)  , D = -C/2

 e^{-y/2}  = -x/2 + D         | ln       , D kann pos. oder neg. sein. 

-y/2 = ln(-x/2 + D)

y = - 2*ln(-x/2 + D)

Schau mal, wo man noch einen Betrag oder eine Fallunterscheidung machen kann, damit man beide Antworten von Wolframalpha bekommt. (Falls beide dort reell sind)

Answer 2

Diese DGL hat 2 Lösungen ,hieraus resultierend:

(y' )^2 =e^y

y' =± √ e^y

usw.