(Gewöhnliche) Differentialgleichungen

Question

Aufgabe: Differentialgleichungen

Problem/Ansatz:

Bin nicht so fit in Mathe und hab keine Lösungen für die Übung deswegen wollte ich euch um Hilfe bitten.

1. ) Welche der nachfolgenden Gleichungen sind gewohnliche Differentialgleichungen für y = \( y(x) \) ? Begründen Sie bitte ausfiuhrlich, warum es sich um eine DGL handelt, bzw. warum nicht. Falls Sie die Gleichung als Differentialgleichung identifiziert haben, lösen Sie diese.
a) \( \cos ^{2}\left(3 x^{2} y^{4}\right) y^{\prime}+1=y^{\prime}\left(2+\sin ^{2}\left(3 x^{2} y^{4}\right)\right) \)
b) \( \ln (1-y) 2 y+2 \ln (1+y) y+x^{2} y^{\prime}=2 y \ln \left(e^{-1}\left(1-y^{2}\right)\right) \)

2. ) Zeigen Sie, dass die Funktion \( y=\pm \frac{1}{\sqrt{-2\left(\sqrt{1+x^{2}}+C\right)}} \) für \( C \in \mathbb{R} \) eine Lösung folgender Differentialgleichung ist:

y'= (xy^3)/(Wurzel(1+x^2)) (sry Bild wurde hier nicht erkannt.)

die im Definitionsbereich \( x \in\left(-\sqrt{C^{2}-1}, \sqrt{C^{2}-1}\right) \) definiert ist Beschreiben Sie Ihre Schritte ausführlich.

3. ) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

y'(x) + y(x) = cosx , y(0) = 4711

Beschreiben Sie hierbei Ihr Vorgehen ausfiuhrlich.
Hinweis: Die Stammfunktion von \( \cos x e^{x} \) ist \( 0.5 e^{x}(\cos x+\sin x)+c, c \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Hallo,

Welche der nachfolgenden Gleichungen sind gewohnliche Differentialgleichungen für y = \( y(x) \)

Beide

1a) DGL ist nicht lösbar

1b)

allg. gilt: ln(a*b)= ln(a) +ln(b)

ln(1-y) 2y +2ln(1+y)y=2y (ln(1-y)+ln(1+y))=2y *ln(1-y^2)

2yln(e^(-1) (1-y^2))= 2y (-1 +ln(1-y^2))

---->

2y *ln(1-y^2) +x^2*y'= 2y (-1 +ln(1-y^2)) | - 2y (-1 +ln(1-y^2))  ; -x^2*y'

2y *ln(1-y^2) - 2y (-1 +ln(1-y^2))= -x^2*y'

2y *ln(1-y^2) +2y -2y ln(1-y^2))= -x^2*y'

2y = -x^2* y'  ---------->Trennung der Variaben

2y=-x^2 *(dy/dx)

2/x^2  dx= - dy/y

-2/x +C= -ln|y| *(-1)

2/x -C= ln|y| | e hoch

y=C₁ e^(2/x)

3.)y'+y= cos(x) Lösung durch Variation der Konstanten

1. homogene DGL lösen :

y'+y=0

dy/dx= -y

dy/y= -dx

ln|y| = -x+c

yh=C1 e^(-x)

2. C1=C(x) setzen

yp= C(x) e^(-x)

yp'=C'(x) e^(-x)  - C(x) e^(-x)

3. yp und yp' in die DGL einsetzen

y'+y= cos(x)

C'(x) e^(-x)  - C(x) e^(-x) +C(x) e^(-x) = cos(x)

C'(x) e^(-x)  = cos(x) , C(x) muß sich kürzen lassen

C'(x) e^(-x)  = cos(x)

C'(x)= e^x cos(x)

C(x)= 0.5 e^(x)(sin(x) +cos(x))  ->siehe Hinweis

_{4.yp= C(x) e^(-x)}

yp=  e^(-x) *0.5 e^(x)(sin(x) +cos(x))

yp= 0.5 (sin(x) +cos(x))

5. y=yh +yp

y=C₁ e^(-x) + 0.5 (sin(x) +cos(x))

6 AWB einsetzen in die Lösung

y(0) = 4711

4711=C1 e^(-x) + 0.5 (sin(x) +cos(x))

4711=C1 e^(-0) + 0.5 (sin(0) +cos(0))

4711=C1 +0.5

C1=4710.5 (oder 9421/2)

y= 4710.5 e^(-x) + 0.5 (sin(x) +cos(x)) -->Lösung

oder zusammengefasst:

\( y(x)=\frac{1}{2}\left(9421 e^{-x}+\sin (x)+\cos (x)\right) \)

Comments

Vielen lieben dank leute!

Answer 2

Hallo

"Bin nicht so fit in Mathe" ist eigenartig, du musst ja wohl in neer Mathevorlesung sein? Wie kommt man da mit der Haltung hin?

b) wird sehr einfach wenn du alle Terme mit 2y*ln.. zusammenfasst die heben sich auf, und es bleibt eine einfache Dgl über, die man mit Trennung der Variablen lösen kann. a) wird nur einfach wenn bei sin oder cos ein - steht so dass es wegen sin^2+cos^2=1 sehr vereinfacht wird!Sonst glaube ich nicht, dass du das lösen kannst.

2. die gegebenen Lösung differenzieren und in die Dgl einsetzen-

3. erst die homogenen Dgl lösen, dann Variation der Konstanten.

Gruß lul