Quadrat im Raum: Eckpunkte gesucht

Question

Aufgabe:

Eine Ebene E ist durch die Punkte A (1, 3, 2), B (-2, -3, 8) und D (6, 7, 4) definiert. Die Strecke AB sei die Diagonale eines Quadrats, das in der Ebene E liegt. Die Koordinaten der beiden anderen Quadrateckpunkte sind gesucht.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, zuerst den Mittelpunkt M der Diagonalen AB zu bestimmen. Außerdem weiß ich, dass die Diagonalen senkrecht auf einander stehen; also ist das Skalarprodukt AB ° CD = 0. Die Länge der Diagonalen ist 9 (Strecke AB),

So komme ich zu M (-0,5, 0, 5) und -u₁ - 2u₂ + 2u₃ = 0    (u = CD)

Jetzt hakt es bei mir. Wie bestimme ich u, da ich nur eine Gleichung, aber 3 Unbekannte habe. Über einen Tipp würde ich mich freuen.

Answer 1

Um von M zu den anderen Ecken zu kommen, brauchst du die beiden

Vektor in der Ebene, der auf AB senkrecht steht und die Länge 4,5 haben.

Die Ebene hat als Normalenvektor (-2; 2; 1)^T .

und es ist AB =  (-3 ; -6, 6 ).

Damit (a;b;c) ^T auf beiden senkrecht steht muss gelten

-2a+2b+c = 0 und -3a-6b+6c=0

also z.B. (a;b;c) ^T = ( 2;1;2)^T.

Der hat aber die Länge 3. Also mal ±1,5 gibt

( 3;1,5;3)^T  und  -( 3;1,5;3)^T .

Beide bei M drangehängt bringen dich zu den fehlenden Ecken.

Answer 2

AB = B - A = [-3, -6, 6] ; |AB| = 9

AD = D - A = [5, 4, 2]

M = 1/2·(A + B) = [-0.5, 0, 5]

k·n = AB ⨯ AD = [-36, 36, 18] = -18·[2, -2, -1]

k·CD = AB ⨯ n = [18, 9, 18] = 6·[3, 1.5, 3]

C = M - CD = [-3.5, -1.5, 2]
D = M - CD = [2.5, 1.5, 8]