Ein (eigentlich einfaches) Gleichungssystem mit Matrizen

Question

ich wollte heute ein Gleichungssystem, welches die folgende Form hat,

$$\tilde G_A = A_{AB} \tilde F^B - B_{AB}F^B,$$

$$G_A = A_{AB} F^B + B_{AB}\tilde F^B,$$

explizit nach $F^A$ (bzw. $\tilde F^A$) zu lösen. Dabei sind die Matrizen A und B symmetrisch und invertierbar mit Inversen $A^{-1AB}$ und $B^{-1AB}$.

Was ich gemacht habe:

$$B^{-1CA}\tilde G_A= B^{-1CA}A_{AB}\tilde F^B - F^C$$

$$A^{-1CA} G_A = F^C + A^{-1CA} B_{AB}\tilde F^B,$$

zusamen also

$$B^{-1CA}\tilde G_A + A^{-1CA} G_A =(B^{-1CA} A_{AB}+ A^{-1CA}B_{AB})\tilde F^B.$$

Problem: der Ausdruck in der Klammer hat ja die Form $M + M^{-1}$, ob er invertierbar ist, weiß ich allerdigs nicht. Und gesetzt den Fall, dass

$$\Lambda^C_{~B} := B^{-1CA} A_{AB}+ A^{-1CA}B_{AB}$$

invertierbar ist, d.h. ${\Lambda^{-1}}^A_{~B}\Lambda^B_{~C} = \delta^A_C$, dann hätte ich

$$\tilde F^D={\Lambda^{-1}}^D_{~C} (B^{-1CA}\tilde G_A + A^{-1CA} G_A)$$

und analog

$$F^D = {\Lambda^{-1}}^D_{~C} (B^{-1CA}G_A -A^{-1CA} \tilde G_A).$$

Das müsste allerdings wieder die beiden Ausgangsgleichungenlösen, was es nicht tut. Sieht jemand, was falsch ist? Ist es die Annahme, dass $\Lambda$ invertierbar ist? (Ich denke nicht)

Comments

Da sind einige Unklarheiten. Es gibt in Deiner Ausgangsgleichung kein $F^A$ und was sollen die Ausdrücke $A^{-1AB}$  bedeuten.

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Doch, in der Summe $B_{AB}F^B$ in der ersten Zeile kommen die $F^A$ vor und ebenfalls in der zweiten Zeile. (Summe über doppelte Indizes ist natürlich implizit, falls das die Frage ist. Die \(F^A sind 2-Formen auf einer Mannigfaltigkeit und ihre Anzahl (auf jeden Fall endlich) hängt mit deren Kohomologie zu zusammen, das tut hier aber eigentlich nichts zur Sache.)

$A^{-1AB}$ ist die inverse zu A, genauer eines ihrer Matrixelemente.

Answer 1

Hi,

die Gleichung kann man ja auch in Matrixblockform wie folgt schreiben

$$\begin{pmatrix} \tilde G \\G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde F\\F \end{pmatrix}$$ Die Inverse Matrix von
$$\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}$$ lautet
$$\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} (A+B A^{-1} B)^{-1} & (A+B A^{-1} B)^{-1} B A^{-1} \\ -A^{-1} B (A+B A^{-1} B)^{-1} & A^{-1}-A^{-1} B (A+B A^{-1} B)^{-1} B A^{-1} \end{pmatrix}$$
siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Block_matrix
Damit ergibt sich
$$\begin{pmatrix} \tilde F\\F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \tilde G\\G \end{pmatrix}$$

Ich hatte Deine Komponentenschreibweise nicht verstanden. Die  obige Schreibweise ist aber kompakter.

Deinen Fehler habe ich leider nicht gefunden, vielleicht hilft das aber auch weiter.