Ein (eigentlich einfaches) Gleichungssystem mit Matrizen

Question

ich wollte heute ein Gleichungssystem, welches die folgende Form hat,

$$ \tilde G_A = A_{AB} \tilde F^B - B_{AB}F^B,$$

$$ G_A = A_{AB} F^B + B_{AB}\tilde F^B,$$

explizit nach \( F^A \) (bzw. \(\tilde F^A\)) zu lösen. Dabei sind die Matrizen A und B symmetrisch und invertierbar mit Inversen \(A^{-1AB}\) und \( B^{-1AB}\).

Was ich gemacht habe:

$$ B^{-1CA}\tilde G_A= B^{-1CA}A_{AB}\tilde F^B - F^C$$

$$A^{-1CA} G_A = F^C + A^{-1CA} B_{AB}\tilde F^B,$$

zusamen also

$$ B^{-1CA}\tilde G_A + A^{-1CA} G_A =(B^{-1CA} A_{AB}+ A^{-1CA}B_{AB})\tilde F^B.$$

Problem: der Ausdruck in der Klammer hat ja die Form \(M + M^{-1}\), ob er invertierbar ist, weiß ich allerdigs nicht. Und gesetzt den Fall, dass

$$\Lambda^C_{~B} := B^{-1CA} A_{AB}+ A^{-1CA}B_{AB} $$

invertierbar ist, d.h. \( {\Lambda^{-1}}^A_{~B}\Lambda^B_{~C} = \delta^A_C\), dann hätte ich

$$\tilde F^D={\Lambda^{-1}}^D_{~C} (B^{-1CA}\tilde G_A + A^{-1CA} G_A) $$

und analog

$$ F^D = {\Lambda^{-1}}^D_{~C} (B^{-1CA}G_A -A^{-1CA} \tilde G_A).$$

Das müsste allerdings wieder die beiden Ausgangsgleichungenlösen, was es nicht tut. Sieht jemand, was falsch ist? Ist es die Annahme, dass \(\Lambda\) invertierbar ist? (Ich denke nicht)

Comments

Da sind einige Unklarheiten. Es gibt in Deiner Ausgangsgleichung kein \( F^A \) und was sollen die Ausdrücke \( A^{-1AB} \)  bedeuten.

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Doch, in der Summe \(B_{AB}F^B\) in der ersten Zeile kommen die \(F^A\) vor und ebenfalls in der zweiten Zeile. (Summe über doppelte Indizes ist natürlich implizit, falls das die Frage ist. Die \(F^A sind 2-Formen auf einer Mannigfaltigkeit und ihre Anzahl (auf jeden Fall endlich) hängt mit deren Kohomologie zu zusammen, das tut hier aber eigentlich nichts zur Sache.)

\( A^{-1AB}\) ist die inverse zu A, genauer eines ihrer Matrixelemente.

Answer 1

Hi,

die Gleichung kann man ja auch in Matrixblockform wie folgt schreiben

$$ \begin{pmatrix} \tilde G \\G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde F\\F \end{pmatrix} $$ Die Inverse Matrix von
$$ \begin{pmatrix}  A & -B \\ B & A \end{pmatrix}  $$ lautet
$$ \begin{pmatrix}  A & -B \\ B & A \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}  (A+B A^{-1} B)^{-1} & (A+B A^{-1} B)^{-1} B A^{-1} \\ -A^{-1} B (A+B A^{-1} B)^{-1} & A^{-1}-A^{-1} B (A+B A^{-1} B)^{-1} B A^{-1} \end{pmatrix}  $$
siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Block_matrix
Damit ergibt sich
$$ \begin{pmatrix} \tilde F\\F \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  A & -B \\ B & A \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \tilde G\\G \end{pmatrix}$$

Ich hatte Deine Komponentenschreibweise nicht verstanden. Die  obige Schreibweise ist aber kompakter.

Deinen Fehler habe ich leider nicht gefunden, vielleicht hilft das aber auch weiter.