Die Varianz bestimmen von Z = X · Y?

Question

,

ich habe hier eine ehemalige Prüfungsfrage, jedoch ohne Lösungsweg :/ und verzweifle. Ich kenne bisher nur die Rechenregel für Var(X+Y), aber das überfordert mich doch ein wenig und hoffe, dass jemand mir helfen kann :).

Die Frage lautet:

 X und Y seien u.i.v. mit Erwartungswert 1 und Varianz 2. Es sei Z = X · Y . Was ist Var(Z)

Vielen Dank für mögliche Antworten.

Paul

Answer 1

Var(Z)=<Z^2>-<Z>^2

=<X^2 Y^2>-<XY>^2

=<X^2><Y^2>-<X>^2<Y>^2    i)

<X^2>=Var(X)+<X>^2

<Y^2>=Var(Y)+<Y>^2

Einsetzen:

i)=(Var(X)+<X>^2)*(Var(Y)+<Y>^2)-<X>^2<Y>^2

=Var(x)Var(y)+Var(X)<Y>^2+Var(y)<X>^2

In der letzten Gleichung können nun die gegebenen Werte eingesetzt werden