Aloha :)
a) Da es \(k\) verschiedene Werte gibt, die alle mit derselben Wahrscheinlichkeit angenommen werden, muss die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert \(p=\frac{1}{k}\) sein. Damit erhalten wir den Erwartungswert:
$$E[X]=\langle X\rangle=\sum\limits_{i=1}^k p\cdot i=\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^k i=\frac{1}{k}\cdot\frac{k(k+1)}{2}=\frac{k+1}{2}$$
b) Für die Bestimmung der Varianz benötigen wir:$$\left<X^2\right>=\sum\limits_{i=1}^k p\cdot i^2=\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^ki^2=\frac{1}{k}\cdot\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}=\frac{(k+1)(2k+1)}{6}$$Damit haben wir die Varianz:
$$V[X]=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=\frac{(k+1)(2k+1)}{6}-\frac{(k+1)^2}{4}$$$$\phantom{V[X]}=\frac{k+1}{12}\left[2(2k+1)-3(k+1)\right]=\frac{k+1}{12}\left(4k+2-3k-3\right)=\frac{k+1}{12}\left(k-1\right)$$$$\phantom{V[X]}=\frac{k^2-1}{12}$$
c) Für \(Y=3X+1\) bauen wir auf den Ergebnissen aus (a) und (b) auf:
$$E[Y]=\langle Y\rangle=\langle 3X+1\rangle=3\langle X\rangle+1=3\,\frac{k+1}{2}+1=\frac{3k+5}{2}$$$$V[Y]=V(3X+1)=9V(X)=9\,\frac{k^2-1}{12}=\frac{3k^2-3}{4}$$
