lineare Abbildung kerF und ImF

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich kerF und ImF von F(x1,x2,x3) 
Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich habe hier folgende lineare Abbildung F:ℝ3→ℝ3, die Abbildung ist definiert durch F (x1,x2,x3):= (x1+x2,3x1+2x2+x3,x2-x3)

Für meine Aufgabe brauche ich kerF und ImF um weiter rechnen zu können,jedoch habe ich noch nicht ganz verstanden wie ich jetzt darauf komme.

Könnte mir jemand helfen ?

Answer 1

Aloha :)

Wir bauen uns zuerst die Abbildungsmatrix für die Funktion \(F\):$$F(1;0;0)=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\quad;\quad F(0;1;0)=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad F(0;0;1)=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Das führt für die Funktion \(F\) auf die Abbildungsmatrix:$$M_F=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\3 & 2 & 1\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$Zur Bestimmung des einer Basis des Bildes, müssen wir die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herausrechnen. Dazu wenden wir elementare Spaltenoperationen an und bringend die Matrix auf Dreieckform:$$\left(\begin{array}{rrr} & -S_2 & \\\hline1 & 1 & 0\\3 & 2 & 1\\0 & 1 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} & & +S_2 \\\hline1 & 0 & 0\\3 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\3 & -1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten bilden eine Basis von \(F\) bzw. von \(M_F\):$$\operatorname{Im}(F)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\,;\,\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\,\right)$$

Das Bild ist offensichtlich 2-dimensional. Also muss der Kern 1-dimensional sein. Der Kern ist die Menge aller Vektoren, für die die Abbildung zu null wird, also lösen wir das folgende Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & = &&\text{Aktion}\\\hline 1 & 1 & 0 & 0\\3 & 2 & 1 & 0 &&-3\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 1 & -1 & 0\\\hline 1 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 && \\0 & 1 & -1 & 0 && +\text{Zeile 2}\\\hline 1 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 &&\\\hline\hline\end{array}$$Für den Kern lesen wir daraus 2 Bedingungen ab:$$x_1+x_2=0\quad;\quad -x_2+x_3=0\quad\implies\quad x_2=-x_1\quad;\quad x_2=x_3$$Das führt uns auf die Vektoren des Kerns:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-x_1\\-x_1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$Damit haben wir eine Basis des Kerns gefunden:$$\operatorname{Kern}(F)=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$