Bestimmen Sie KerF und ImF und deren Dimension!

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Eine lineare Abbildung ( siehe oben)

Was ist die genaue geometrische Interpretation dieser Abbildung?

Bestimmen Sie KerF und ImF und deren Dimension! Geben Sie für beide Räume eine Basis an und ühberprüfen Sie die Gültigkeit des Kern Bild Satzes.

Also und meine Frage bezieht sich so darauf wie ich das jetzt am besten formuliere damit alles sinn ergibt

KerF und ImF müssten doch jeweils 4 und 1 sein?!

Answer 1

Bestimmen Sie KerF und ImF und deren Dimension!

a∈KerF <=>   F(a)=0.   Mit \( a= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) gilt  \( F(a) =  \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\\0 \end{pmatrix} \)

Also ist a∈KerF <=> x=0 und y=0 . Die Elemente vom Kern sehen also so aus \(  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \)

Der ist also 1-dimensional und eine Basis wäre z.B. \(  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Und wegen \( F(a) =  \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\\0 \end{pmatrix} =  x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} +y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \)

ist \( ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} )\) eine Basis von ImF, das ist also 2-dim.

Kern Bild Satz ist wohl dim(KerF)+dim(ImF) = dim (Definitionsbereich) 

hier also   1 + 2 = 3 ✓

Comments

Eine kurze Verständnis Frage noch

Wir nehmen jetzt mal den Punkt p=(4;1;0;0)

Welche Dim hat die Faser von dem Punkt?

Und danach mal ein großes Danke erstmal

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Wenn Faser das Gleiche ist wie Urbild, dann musst du

überlegen:

Für welche x∈ℝ^3 gilt f(x)=\(  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \)

Das sind offenbar alle \(  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ z \end{pmatrix} = z \cdot   \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}  \)

Somit ist \(   \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}  \) eine Basis dafür und also dim = 1 .