Beweisen, dass zwei beliebige verschiedene Fermat-Zahlen Fn und Fm teilerfremd sind.?

Question

F_{n +1} − 2 = F n · ( F n − 2)

wie kann ich zeigen für jede Fermat Zahl F_n , n ≥ 0. Gebrauchen Sie dieses Resultat um zu beweisen, dass zwei beliebige verschiedene Fermat Zahlen F_n und F_m teilerfremd sind.?

Answer 1

$$ F_{n+1} = 2^{2^{n+1}} + 1 = (F_n - 1)^2 +1 = F_n^2 -2 F_n + 2   $$

Und siehe hier

https://de.m.wikiversity.org/wiki/Fermat-Zahlen/Paarweise_teilerfremd/Fakt_mit_Beweisklappe

Comments

Aus der Identität $$ F_{n+1} - 2 = F_n ( F_ n-2)   $$ kann man mit vollständiger Induktion leicht ableiten das gilt

$$ F_{n+1} - 2 = \prod_{k=0}^n F_k $$

Damit gilt für \( m > n \) das \( F_n \) die Zahl \( F_m-2\) teilt.

Damit gilt

$$ ggT(F_m,F_n) = ggT(F_m-(F_m-2),F_n) = ggT(2,F_n)  $$ Und da \( F_n \) immer ungerade ist,, folgt \( ggT(2,F_n) = 1 \), also sind \( F_m \) und \( F_n \) teilerfremd.