Exponentielle/lineare Abnahme: Rom hatte zur Zeit Christi ca. 1 Million Einwohner,1000 Jahre später noch 20 000

Question

Das Antike Rom hatte zurzeit um Christi zirka 1 Million Einwohner ,1000 Jahre später nur noch 20 000 Einwohner.

a.) Nimm lineareAbnahme an und erstelle eine Formel zum Berechnen der Bevölkerungszahl nach t jahren. Wie hoch ist die jährliche Abnahme  bei diesem Modell?
b.) Nimm exponentielle Abnhame an und erstelle ebenfalls eine Allgemeine Formel

c.) Zeichne die Graphen für beide Modelle in ein Koordinatensystem  für diesen 1000 Jahre Zeitraum . Bei welchem Modell wäre die Roms ausgestorben ??

d.) Wann ist bei beiden Abnahmen nur noch die Hälfte der ursprünglichen Einwohnerzahl vorhanden? Ermittle diesen Zeitpunkt graphisch und rechnerisch!

Iich bin für jede Antwort sehr dankbar !!

LG

Comments

Es wäre günstig wenn du konkret sagst wobei du Probleme hast. Du solltest dich aber auch zunächst selber mal an die Aufgaben heran wagen.

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Ein Jahr "0 n. Chr." gab es übrigens gar nicht.

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@Ché: Es stehen halt für den Titel nur 200 Buchstaben zur Verfügung. Alternativvorschlag?

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Dann vielleicht "zur Zeit Christi"; ähnlich wie in der Fragestellung selbst.

Aber eigentlich geht es ja auch gar nicht mehr um exponentielle Abnahme als um lineare Abnahme...

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mein Problem lag darin diese Formel aufzustellen

Answer 1

du machst zwei Funktionsansätze. Einmal

N(x) = mx + n (linearer Abfall)

und

N(x) = N_0 * exp( lambda t ) (exponentieller Abfall)

Dir fällt auf, dass beide Funktionen jeweils zwei Parameter haben, die durch jeweils zwei Bedingungen bestimmt werden können. Zum Glück haben wir zwei Bedingen gegeben, nämlich die Einwohnerzahl zu 2 Zeitpunkten:

(t_0, N_0) = (0, 1.000.000) und (t_1, N_1) = (1000, 20.000).

Für die lineare Funktion schaffst du es vielleicht selbst, diese Bedingungen auszuwerten (Anstieg m und Absolutglied n bestimmen).

Für die exponentielle Funktion ist N_0, also die Anzahl zum Zeitpunkt t_0 = 0: N_0 = 1.000.000.

Die zweite Bedingung muss in die Funktionsgleichung eingesetzt werden:

20.000 = 1.000.000 exp (lambda * 1000)

... (umstellen)

lambda = ln(2 / 100) / 1000.

Und fertig. Für lambda sollte ein Wert kleiner 0 rauskommen.

MfG

Mister