Produktregel / Ableitungen: f(x)= x^{-1} * 2^x

Question

Hallo ihr Lieben!

Ich bräuchte Hilfe bei der Ableitung folgender Aufgabe:

f(x)= x^{-1} * 2^x

Mein Lehrer möchte, dass ich bei 2^x mit dem Logarithmus arbeite. Also kann ich ja auch schreiben: x^{-1} * e^ (ln(2)*x)

Durch die Produktregel komme ich auf folgendes Ergebnis:

f `(x)= -x^{-2} * e^ (ln(2) * x) + x^{-1} * ln(2) * e ^ (ln(2)*x)

Ist das so richtig? Falls nein, was ich vermute, wie sieht der Rechenweg und das Ergebnis sonst aus?

Liebe Grüße

Comments

Achtung du hast einen Caret-Konflikt. D.h. ^ - Umwandlung klappt nicht wirklich.

Kannst du noch korrigieren? Füge z.B. einen Leerschlag nach ^ ein, damit man die Klammerung im Exponenten ganz sieht.

EDIT: Habe das nun oben erledigt.

Answer 1

Sieht richtig aus!                               

Answer 2

f(x) = x^{-1}·2^x

f'(x) = -x^{-2}·2^x + x^{-1}·(2^x·LN(2))

Ich würde es noch etwas vereinfachen.

f'(x) = 2^x·(x·LN(2) - 1)/x^2

Comments

Ableitung von a^x

f(x) = a^x = EXP(LN(a^x)) = EXP(x * LN(a))

f'(x) = LN(a) * EXP(x * LN(a)) = LN(a) * a^x

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f'(x) = 2^x·(x·LN(2) - 1)/x²

kleiner Fehlerhinweis

f'(x) = 2^x·( 1/ x·LN(2) - 1/x² )

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Wo meinst du da genau den Fehler zu sehen ?

Ich wollte 1/x^2 aus der Klammer raus ziehen. Das war so beabsichtigt.

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Deine Antwort ist richtig.
Mein falscher Fehlerhinweis kommt wahrscheinlich
daher das ich 1/x^2 nicht aus der Klammer
gezogen hätte.

Answer 3

[ e ^{term} ]´ = e ^term * ( term ´)

Mein Lehrer möchte, dass ich bei 2^x mit
dem Logarithmus arbeite

Zunächst wird 2^x in eine e-Funktion
umgewandelt und dann abgeleitet.

u = 1 /x
u ´= -1 / x^2

v = 2^x
v ´= 2^x * ln ( 2)

( u * v ) ´ = -1 / x^2 * 2 ^x + 1 / x * 2^{x } * ln ( 2 )