Ableitungen von cosinus mit anderem Argument als nur x und Produktregel

Question

Ich weiß, dass die Ableitung von cos(x) lautet:   -sin (x)

was macht man aber, wenn das x nicht allein steht ?

z.B. cos(x^2)

cos (2x)

cos (3x+1)

Ich kann nur raten, weil ich hier die Endlösungen habe.

Leitet man die Klammer selbst auch nochmals ab ?

z.B. wäre dann cos(x^2) abgeleitet -2x sin(x^2)

                         cos (2x) abgeleitet  3 cos (2x)

                         cos (3x+1)  abgeleitet 3 cos(3x+1)

Meine vollständige Aufgabe heißt: 2x * cos x^2

Bitte um Hilfe

Uli

Answer 1

> was macht man aber, wenn das x nicht allein steht ?

Dann wendet man die Kettenregel an:

        f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x))·h'(x).

Beispiel. f(x) = (x³+x²)⁴².

Die Funktion f ist eine Verkettung einer äußeren Funktion g(h) und einer inneren Funktion h(x). Dabei ist

        g(h) = h⁴² und h(x) = x³+x².

Es ist g'(h) = 42h⁴¹ und h'(x) = 3x² + 2x.

Demnach ist f'(x) = 42(x³+x²)⁴¹ · (3x² + 2x).