Mathematik - Produktregel anwenden

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - wie kann ich anhand des folgenden Beispiels die Produktregel anwenden?

f(x) = 2x * e^2-3x

Mein Versuch wäre folgender:

u(x) = 2x - u'(x) = 2

v(x) = e^2-3x - v'(x) = -3e^2-3x

Nun hätte ich die Werte eingesetzt, nach der Produktregel würde ich u(x) nun in v(x) einsetzen - aber an welcher Stelle?

Laut den Lösungen soll hierbei die Ableitung f'(x) = (2-6x) * e^2-3x herauskommen.

Vielen Dank!

Answer 1

Ich verstehe nicht, worauf du mit u(x) und v(x) konkret hinausmöchtest, aber ich würde die Aufgabe wie folgt lösen:

Die Funktion ist ein Produkt aus einer linearen und einer e-Funktion, die zusätzlich verkettet ist.

Definieren wir 2x =: u(x) und e^(2-3x) =: v(x), dann müssen wir, nachdem die Funktion ein Produkt ist, Folgendes rechnen: f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Zusätzlich ist v(x), also die e-Funktion, allerdings noch verkettet, so dass wir dort die Kettenregel anwenden müssen.

Es gilt: f'(x) = (2x)' * e^(2-3x) + 2x * (e^(2-3x))' = 2e^(2-3x) + 2x * (-3)*e^(2-3x) = = 2e^(2-3x) -6e^(2-3x) = (2-6x)*e^(2-3x)

(Beachte: Wegen der Verkettung von e^(2-3x) muss die Ableitung des Exponenten (2-3x) mit e multipliziert werden!)

Comments

Alles klar, danke - mir ist gerade auch aufgefallen, dass ich die falsche Beschreibung angegeben habe. Ich wollte nämlich frage, wie ich hier die Kettenregel anzuwenden habe. Mein Fehler, sorry.

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Sehr gerne, kein Problem. Melde dich gerne bei Rückfragen :)

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Also verstehe ich das richtig, dass man eigentlich die Kettenregel ausschließlich (in diesem Beispiel) auf den e-Teil anwendet? Sprich die Ableitung wird vielmehr über die Produktregel ausgerechnet und die Kettenregel ist hauptsächlich dafür da, um die Ableitung von v(x) herauszubekommen?

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Exakt, sehr gut!

Die Kettenregel muss nur dann angewendet werden, wenn wir eine "verkettete Funktion" haben, also irgendetwas in der Funktion selbst dabei steht, bei dem "x" oder ganz allgemein die Variable dabeisteht, nach der abgeleitet werden muss.

Da "2x" hier nur eine lineare Funktion ist und nicht verkettet sein kann, wendet man also nur die Kettenregel auf e an (da der Exponent von e eine lineare Funktion ist) und nicht auf 2x.

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Beim Ableiten hilft es ganz allgemein sich zu überlegen, wie die Funktion aufgebaut ist: Wir haben hier grundsätzlich ein Produkt aus irgendwelchen zwei Faktoren, in denen "x" vorkommt (sonst wäre der eine von den beiden nur ein Vorfaktor).

Wenn dann zusätzlich bei einem der Faktoren eine Verkettung auftritt (also z. B. noch ein "x" im Exponenten steht), dann wendet man die Kettenregel nur auf diesen speziellen Faktor an.

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Alles klar, herzlichen Dank! Dann weiß ich jetzt auch, wo vor allem mein entscheidender Fehler war!

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Keine Ursache, sehr gerne :)

Answer 2

Produktregel: u'·v+u·v'

In deinem Fall alles eingesetzt also:

f'(x) = 2e^2-3x +2x·(-3)e^2-3x

    = 2e^2-3x −6xe^2-3x (e^2-3x ausklammern)

    = (2-6x)·e^2-3x

Answer 3

Text erkannt:

Ein Weg über die Quotientenregel:
$$ f(x)=2 x \cdot e^{2-3 x}=2 x \cdot e^{2} \cdot e^{-3 x}=2 e^{2} \cdot x \cdot e^{-3 x}=2 e^{2} \cdot \frac{x}{e^{3 x}} $$
\( \left[\frac{x}{e^{3 x}}\right]^{\prime}=\frac{1 \cdot e^{3 x}-x \cdot e^{3 x} \cdot 3}{\left(e^{3 x}\right)^{2}}=\frac{1-3 x}{e^{3 x}} \)
\( f^{\prime}(x)=2 e^{2} \cdot \frac{1-3 x}{e^{3 x}} \)