Mathe Abi 2016 Analysis. Änderungsrate der Satzlänge von Kindern

Question

Im Mathe gk 2016 in NRW war eine Aufgabe über die momentane Änderungsrate von der entwicklung der Satzlänge von Kindern. Die Funktion r(t) = 0,31e hoch -0,25t^2+1,25t beschreibt diesen Verlauf.

Die Aufgabe lautet den Zeitraum zu berechnen in welchem die satzlänge mit einer momentanen änderungsrate von über 1 wächst (zwischen 1,5 und 5,5 Jahren)

Ich weiß, dass ich die Funktion nun gleich 1 setzen muss, weiß aber nicht wie man das bei einer e Funktion macht..

Answer 1

f(t) = 0.31·e^{- 0.25·t^2 + 1.25·t}

f(t) > 1

0.31·EXP(- 0.25·t^2 + 1.25·t) > 1

1.248893260 < t < 3.751106739

Wenn 1.5 bis 5.5 der Definitionsbereich ist dann hat man eine momentane Änderungsrate über 1 im Intervall [1.5 ; 3.751].

~plot~ 0.31*e^{- 0.25x^2+1.25x} ~plot~

Answer 2

Das führt nach Logarithmieren auf eine quadratische Gleichung. Außerdem ist das eine Aufgabe für die CAS-Kurse gewesen, da kann man auch die Elektronik walten lassen.

Comments

 Hier der entsprechende Auszug aus der Modelllösung. Damals, also letztes Jahr, konnte man die erste Zeile über die entsprechenden Lösungsalgorithmen seines CAS-Rechners erledigen, also je nach Rechner irgendwas mit "solve(r(t)=1,t)" oder so. Natürlich war man damit allein noch nicht fertig:

Answer 3

f(t) = 0.31* e^{- 0.25·t^2 + 1.25·t}  

0.31·* e^{- 0.25·t^2 + 1.25·t}  > 1

e^{- 0.25·t^2 + 1.25·t}  > 1/ 0.31  | ln
- 0.25·t^2 + 1.25·t  >  ln ( 1/ 0.31  )
- 0.25·t^2 + 1.25·t  >  1.1712 | * -4
t^2 - 5 * t < - 4.6848  | quadr.Ergänzung
t^2 - 5 * t + 2-5 ^2 < - 4.6848 + 6.25 = 1.5652
( t - 2.5 ) ^2 < 1.5652  | √

- √ 1.5652 < t  - 2.5 < + √ 1.5652

- 1.251 < t  - 2.5 < 1.251
1.2489 < t < 3.751

keine Einschränkungen durch das Intervall.

Comments

1.2489 < t < 3.751

keine Einschränkungen durch das Intervall.

Richtig ist stattdessen:

Im Zeitraum zwischen 1,5 Jahren und 3,75 Jahren wächst die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate, die größer als ein Wort pro Jahr ist.