Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer zufällig ausgewählten Familie genau ein Junge ist?

Question

Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Familie genau k Kinder hat,
sei pk = 1/4 · (3/4)^k, für k größer gleich0. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei 12/23 . Für die Geschlechtszugehörigkeit verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die Unabhängigkeitsannahme gemacht.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer zufällig ausgewählten Familie
genau ein Junge ist?
b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Junge genau eine
Schwester hat, falls es sich um eine Familie mit genau einem Jungen handelt?

Hinweis : sum k · p^(k-1) = 1/(1-p)^2 für 0 < p < 1

Problem/Ansatz:

Ich habe zich Formeln und Forum Einträge zu der Frage a) durchwühlt und überlegt, mir ist aber immernoch schleierhaft mit welcher Formel und Wie ich das berechnen soll? (Dementsprechend, bin ich bei a) stecken gebliebe)

Comments

Du solltest die Wahrscheinlichkeit für Jungs noch richtig hinschreiben.

Nachtrag: Danke, aber es war zu spät und hat bereits zu einer Antwort geführt, die Deine Korrektur noch nicht berücksichtigt hat.

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Familie genau k Kinder hat,
sei p_k = 1/4 · (3/4)^k, für k größer gleich 0.

Das kann man schlicht und einfach nicht glauben, denn dann müsste es auch Familien mit beliebig vielen Kindern geben. Das wäre selbst mit Polygamie (und Riesenharems) nicht möglich.

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Für \(k = 75\) ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von kleiner als ein neunmilliardstel.

Angesichts der Tatsache, dass es noch nicht ein mal 9 Milliarden Menschen gibt, sagt das Modell trefflich voraus, dass es wahrscheinlich keine Familie mit 75 Kindern gibt.

Answer 1

Für a) gibt es unendlich viele Möglichkeiten:

1) Die Familie hat 1 Kind, und das ist ein Junge: Zugehöriger Term: 1/4 · (3/4)k^1·1/2

2) Die Familie hat 2 Kinder, darunter ist genau ein Junge und 1 Mädchen: Zugehöriger Term: 1/4 · (3/4)k^2·2·1/2·1/2

3) Die Familie hat 3 Kinder, darunter ist genau ein Junge und 2 Mädchen: Zugehöriger Term: 1/4 · (3/4)k^3·3·1/2·(1/2)^2

4) Die Familie hat 4 Kinder, darunter ist genau ein Junge und 3 Mädchen: Zugehöriger Term: 1/4 · (3/4)k^4·4·1/2·(1/2)^3

usw.

Bilde die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten.

Comments

Danke.
Sorry die Wahrscheinlichkeit für Junge und Mädchen waren bei mir unleserlich angegeben, jetzt ist es korrekt.
Wieso wird immer mit k multipliziert und woher kommt die Formel? Also ja, sie ist als Hinweis angegeben, aber was ist das für eine Formel und wieso wird noch am Ende mit der Wahrscheinlichkeit von Mädchen Multipliziert?

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"Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind ein Junge ist, ist (12/23)*(11/23)^(k-1). Für das zweite Kind ist die Wahrscheinlichkeit genauso gross usw. Für k Kinder ergibt sich deswegen noch der Faktor k in der angegebenen Wahrscheinlichkeit P(A|B_k)."

Das verstehe ich nicht so ganz. Wie kommt man darauf?

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Wenn z.B. eine Familie mit 3 Kindern genau 1 Jungen und 2 Mädchen hat:

Die Wahrscheinlichkeit, 3 Kinder zu haben, ist laut vorgegebener Formel

1/4 · (3/4)k^3.

Wenn da 1 Junge dabei ist, gibt es die drei möglichen Reihenfolgen (1., 2. und 3. Kind) JMM, MJM und MMJ. Daher der Faktor 3.

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Das verstehe ich nicht so ganz. Wie kommt man darauf?

Offensichtlich hast du ja bereits eine Musterlösung.

Hast du schon mal etwas von der Binomialverteilung und der Formel zur Berechnung gehört. Die musst du einfach nur anwenden

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

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Danke (naja, aus nem anderen Forumeintrag aus 2010... habe verschiedene Lösungen gesehen, die eine schien aber die richtigste zu sein)...

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit das eine Familie genau k Kinder hat und sich unter den k Kindern genau 1 Junge befindet ist

P(genau k Kinder mit genau einem Jungen) =  (1/4·(3/4)^k)·(k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)) = 3/11·k·(33/92)^k

Damit kann man jetzt die Wahrscheinlichkeiten unter a) und b) bestimmen.

Ich komme zur Kontrolle auf ca.

a) 0.2379

b) 0.2950

Solltest du abweichende Ergebnisse haben, ist das erstmal nicht tragisch. Schließlich kann ich mich auch verrechnet haben. Aber dann solltest du mal deinen Rechenweg angeben. Ebenso solltest du ihn angeben, wenn du irgendwo Probleme hast und etwas Hilfe benötigst um weiter zu rechnen.

Comments

Danke! sieht gut aus.

Wie komme ich auf Den Teil (k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)) ?

Muss man also totale Wahrscheinlichkeit P(B)*P(A|B), wobei P(A|B) (k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)) ist?

Danke

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Wie komme ich auf Den Teil (k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)) ?

Stichwort: Formel der Binomialverteilung.

Muss man also totale Wahrscheinlichkeit P(B)*P(A|B), wobei P(A|B) (k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)) ist?

Richtig.

P(B) = 1/4·(3/4)^k

P(A | B) = k·(12/23)·(11/23)^(k - 1)