Integral mit Bruch und Wurzel

Question

folgende Integral-Aufgabe ist gegeben:

∫ 3t / 3.Wurzel( t^2 + 3)

Folgenden Lösungsweg habe ich versucht:

∫ 3t / 3.Wurzel( t^2 + 3) = ∫ 3t / ( t^2 + 3)^{1/3} =  ∫ 3t * ( t^2 + 3)^{-1/3}

= 3 * ∫ t * ( t^2 + 3)^{-1/3}

Substiuierung von ( t^2 + 3)^{-1/3} => 1/2/3 * ( t^2 + 3)^{2/3} * 2t =  3/2 * ( t^2 + 3)^{2/3} * 2t = 6/2t * ( t^2 + 3)^{2/3}

Ableitung von f(x) = t  => f'(x) = 1

Ich weiß nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Die Lösung ist : 9/4 * (t^2 + 3) ^ (2/3)

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

∫ 3·t/(t^2 + 3)^{1/3} dt

Subst:

z = t^2 + 3
1 dz = 2t dt
dt = dz / (2t)

= ∫ 3·t / (z)^{1/3} dz / (2t)

= ∫ 3/2 * z^{-1/3} dz

= 9/4 * z^{2/3} + C

Resubst

= 9/4 * (t^2 + 3)^{2/3} + C

Answer 2

$$ \begin{array}{c}{\int \frac{3 t}{\sqrt[3]{t^{3}+3}} d t} \\ {=3 \int \frac{t}{\sqrt[3]{t^{3}+3}} d t}\end{array} $$

$$ \left[z=t^{3}+3\right.\\ \begin{array}{l}{\frac{d z}{d t}=2 t} \\ {\left.d t=\frac{d z}{2 t}\right]}\end{array}\\ \begin{array}{l}{=3 \int \frac{t}{z^{\frac{1}{3}}} \frac{d z}{2 t}} \\ {=\frac{3}{2} \int \frac{d z}{z^{\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2} \int z^{-\frac{1}{3}} d z} \\ {=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{-\frac{1}{3}+1} z^{-\frac{1}{3}+1}\right)+C} \\ {=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}}\right)+C} \\ {=\frac{9}{4}\left(t^{2}+3\right)^{\frac{2}{3}}+C}\end{array} $$