Hallo Samo,
Du hast das '\(x\)' welches noch in dem Ausdruck steht, völlig ignoriert. Genauso wie \(z\) eine Funktion von \(x\) ist, gilt das auch umgekehrt, also muss es beim Integrieren auch mit berücksichtigt werden. Hier kannst Du Dir zu Hilfe machen, dass
$$\frac{d}{dx }\left( \sinh^{-1} x \right)= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
ist. \(x\) ist so zu substituieren, dass unter der Wurzel \(z^2+1\) stehen bleibt. Wenn
$$4x^2+9=a \cdot (z^2+1)$$
sein soll, dann ist \(z=\frac{2}{3}x\) und \(\frac{dz}{dx}=\frac{2}{3}\) bzw. \(dx = \frac{3}{2}dz\) und \(a=9\) - also
$$\int \frac{1}{\sqrt{4x^2+9}}dx= \int \frac{1}{3\sqrt{z^2+1}} \frac{3}{2}dz=\frac{1}{2}\sinh^{-1} z+C\\ \space=\frac{1}{2} \sinh^{-1}\left( \frac{2}{3}x \right)+C$$
Gruß Werner
