Integral durch Substitution. Int -1 bis 1 von 8x / sqrt ( 5-4x) dx

Question

Hallo :)

Also um dieses Integral zu lösen habe ich schon die Wurzel von 5 -4x durch y substituiert und quadriert. Dann habe ich x ausgerechnet und dx. Doch wie rechne ich jetzt weiter?

Answer 1

 

$$\int_{-1}^{1}\frac{8x\quad dx}{\sqrt{5-4x}}\\ [z = 5-4x\\ \frac{dz}{dx}=-4\\ dx=\frac{dz}{-4}]\\ =8\int \frac{x}{\sqrt{z}}\cdot \frac{dz}{-4}\\ [z=5-4x\\ ⇒ x=\frac{5-z}{4}]\\ =-2\int \frac{\frac{5-z}{4}}{\sqrt{z}}dz\\ \int_{9}^{1}\frac{5-z}{4\sqrt{z}}dz\\ =-2\int_{9}^{1}\Bigl(\frac{5}{4\sqrt{z}}-\frac{z}{4\sqrt{z}}\bigl)dz\\ =-2\Bigl[\int_{9}^{1}\frac{5}{4\sqrt{z}}dz-\int_{9}^{1}\frac{\sqrt{z}}4{}dz\Bigr]\\ =-2\Bigl[\frac{5}{2}\sqrt{z} \quad \Big|_9^1-\frac{z^{\frac{3}{2}}}{6}\Big|_9^1\Bigl]\\ =\frac{4}{3}$$

                                    

Comments

Ich teile also immer x durch das substituierte z und multipliziere mit dz?

Woher kommen die GGrenzen 9 bis 1?

Danke schonmal ;)

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Die Grenzen hab ich schon selbst rausgefunden, aber wieso tauscht man wurzel z unten mit 4* wurzel z beim bruch

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a) Ich teile also immer x durch das substituierte z und multipliziere mit dz?

1.) geeignete Substitution wählen

2.) nach dx ableiten und nach dx umstellen

3.) dx ersetzen

4.) da im Nenner z steht und auch nach dz integriert werden muß , muß 

  x durch z ausgedrückt werden

b) Woher kommen die GGrenzen 9 bis 1?

die gegebene  Grenzen werden in die Substitution eingesetzt

z=5 -4x

z₁= 5- 4*1 =1

z₂= 5 -4(-1) =9

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aber wieso tauscht man wurzel z unten mit 4* wurzel z beim bruch

man vereinfacht den Ausdruck VORHER , weil es dann einfacher zu integrieren geht.

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Super! Habs verstaden. Danke