Integral ∫(4x-10)/(x^2-5x+6) dx bestimmen. Welche Substitution?

Question

∫(4x-10)/(x^2-5x+6) dx

Hi,

Es gilt \( \Large{ \int \frac{4x-10}{(x^2-5x+6)^2} \mathrm{dx} } \) zu berechnen. 

Ich habe erst versucht den Nenner zu faktorisieren, hat nicht geklappt. Dann habe ich nach einer geeigneten Substitution gesucht, aber auch keine gefunden... Könnte mir jemand einen kleinen Tipp zur Substitution geben? Nicht direkt die ganze bitte! Danke :)

Gruss

Comments

Ah, ich hab eine Idee! Ich könnte den Zähler Substituieren. Dann  den Bruch als Potenz schreiben und die Potenzregel anwenden. Frage: Es gilt "innere mal äussere Integration" oder wie war das? ^^ So hiess es jedenfalls beim Ableiten ;)

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Tipp: Nimm einfach mal den Nenner ohne das Quadrat als u.

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Okay, werde ich durchrechnen, danke ;)

Answer 1

Leite mal den Nenner ohne das Quadrat ab. Wo taucht dieser Term nochmals auf. Bringe also den Zähler auf diesen Ausdruck.

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Stimmt, Lu und Mathecoach, ihr habt recht. Im Zähler einfach eine 2 ausklammern und das kürzt sich weg:

Substitution: \(\large{ u := x^2 - 5x + 6 \Rightarrow \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}} = 2x - 5 \Rightarrow \mathrm{dx} = \frac{\mathrm{du}}{2x-5}}\)

Einsetzen: 

\( \large{ ... = \int \frac{4x-10}{u^2} \cdot \frac{\mathrm{du}}{2x-5} = 2 \cdot \int \frac{\mathrm{du}}{u^2} = 2 \cdot \int u^{-2} \mathrm{du} = 2 \cdot \frac{u^{-1}}{-1} = - \frac{2}{u} + C }\)

Resubstitution: \( \large{- \frac{2}{u} + C \longrightarrow - \frac{2}{x^2 - 5x + 6} + C} \)

Passt das?

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Ja. Alles richtig !

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Sieht gut aus. Nach dem Einsetzen gern noch ein Zwischenschritt mit ausgeklammerter 2 im Zähler.

Zudem solltest du zum Schluss, wenn die Gleichheitszeichen nicht durchgehend geschrieben wurden: 

Nochmals  ∫(4x-10)/(x^2-5x+6) dx = -2/(x^2 - 5x+6) + C schreiben, damit gleich ersichtlich ist, dass es das Gesuchte ist.

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Ok, werde ich machen.

Answer 2

Tipp: Nimm einfach mal den Nenner ohne das Quadrat als u.

Dann kannst du deine Rechnung anfügen so weit, wie du kommst.

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Danke euch beiden! Ich habe Mathecoach die beste Antwort gegeben, weil ich ja keine direkt Lösung suchte :)